Funktionsterm zu einem abgebildeten Graphen durch Funktionsscharen bestimmen

Question

Aufgabe:

Funktionsterm zu einem abgebildeten Graphen durch Funktionsscharen bestimmen

Problem/Ansatz:

Hallo, wir haben seit ungefähr einer Woche das in der Aufgabe beschriebene neue Thema, und ich soll als Hausaufgabe eine Übung dazu erledigen. Der abgebildete Graph ist ein Graph dritten Grades, und es ist ein Wendepunkt W(0/1) und ein Tiefpunkt T(1/-1) gegeben. Ich habe die Aufgabe bereits erledigt, als ich aber versucht habe das ganze zu überprüfen kam es mir so vor als hätte ich etwas falsch gemacht, deswegen wollte ich nochmal sicher gehen und den Fehler finden, da das Thema wie erwähnt neu ist.

Erstmal habe ich die Punkte in die Funktion ax^3+bx^2+cx+d eingesetzt, und habe mit den beiden Punkten und der ersten und zweiten Ableitung vier Funktionen herausbekommen:

a*0^3+b*0^2+c*0+d=1 und 6a+2b=0     für den WP f(0)=1 und die zweite Ableitung f''(0)=0
a*1^3+b*1^2+c*1+d=-1 und 3a*0^2+2b*0+c=0 für den TP f(1)=-1 und die erste Ableitung f'(0)=0

Dann kriegt man ja, wenn man das alles auflöst d=1, 2b=0, a+b+c+d=-1 und c=0 raus, dann kann man alle Punkte in die dritte Funktion einsetzen, und dann hat man auch a=-2 raus. Die Funktion wäre dann f(x)=-2x^3+1

Zumindest ist dass das, was ich rausbekommen habe, die Aufgabe lief aber ein wenig anders ab als andere die ich bearbeitet habe, habe ich einen Fehler gemacht?

Answer 1

Skizziere doch mal deinen Graphen. Im vergleich einer von mir

~plot~ -2x^3+1;x^3-3x+1;{0|1};{1|-1} ~plot~

Bei dir ist der Punkt (1 | -1) kein Tiefpunkt.

Deine Bedingung f'(0) = 0 ist also verkehrt. Weißt du wie sie richtig lautet?

Comments

Wie soll die denn verkehrt sein?
Ich habe das ganze so verstanden dass f'(0) = 0 sein muss, weil die Tangente an der Stelle ja null also grade ist, es ist ja ein Tiefpunkt.

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Du hast an der Stelle x = 1 einen Tiefpunkt und daher muss gelten

f'(1) = 0 und nicht f'(0) = 0

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Aah stimmt, ich werde die Funktionen neu aufstellen, danke

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Zur Hilfe oder Selbstkontrolle empfehle ich

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Answer 2

Die Angaben in Kurznotation

f ( 0 ) = 1
f ´´ (0 ) = 0
f ( 1 ) = -1
f ´( 1 ) = 0

Ergebnis
f ( x ) = x^3 - 3·x + 1

Comments

f := x-> a*x^3+b*x^2+c*x+d:
solve([f(0)=1,f''(0)=0,f(1)=-1,f'(1)=0],[a,b,c,d])
                    {[a = 1, b = 0, c = -3, d = 1]}

Das ist höchstens ein Zweizeiler, wenn man den richtigen Ableitungsstrich auf der Tastatur findet.

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Ich weiß nicht ob wir die Funktionen in Zukunft so lösen können, aber im Moment sollen wir die Funktionen auf jeden Fall aufschreiben die durch die Punkte entstehen

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Schon klar. Das hier

6a+2b=0

in deiner Rechnung stimmt nicht. Es muss

6a*0+2b=0

heißen, woraus sofort b=0 folgt.

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f ( x ) = a * x^3 + b* x^2 + c * x + d
f ´( x ) = 3a * x^2 + 2b* x + c
f ´´( x ) = 6a * x + 2b

f ( 0 ) = 1
f ´´ (0 ) = 0
f ( 1 ) = -1
f ´( 1 ) = 0

f ( 0 ) = a * 0^3 + b* 0^2 + c * 0 + d = 1
=> d = 1
f ´´( 0 ) = 6a * 0 + 2b = 0
2b = 0
f ´´( 0 ) = f ´( 1 ) = 3a * 1^2 + 2b* 1 + c
f ( 1 ) = a * 1^3 + b* 1^2 + c * 1 + 1
f ( 1 ) = a + b + c + 1 = -1
f ´( 1 ) = 3a * 1^2 + 2b* 1 + c = 0
f ´( 1 ) = 3a + 2b + c = 0

2b = 0 => b = 0
a + c + 1 = -1
3a + c = 0

a + c = -2
3a + c = 0 | abziehen
--------------
-2a = -2
a = 1

Einsetzen
a + c = -2
1 + c = -2
c = -3

f ( x ) = x3 - 3·x + 1

Ich hoffe alles stimmt

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Ich hoffe alles stimmt

Der Ableitungsstrich ist falsch.