Beweisen Sie für einen geordneten Körper K folgendes....

Question

Aufgabe:

\( 0<x \leq y \)
Beweisen Sie für einen geordneten Körper \( K \) und \( x, y \in K \) mit
\( x^{2} \leq\left(\frac{2 x y}{x+y}\right)^{2} \leq x y \)

Problem/Ansatz:

Wie löse ich die Aufgabe? Ich schaffe es einfach nicht. Ich denke mal, ich muss die Axiome für einen Körper beweisen, aber genau das beweisen fällt mir schwer...

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir wissen, dass \(0<x\le y\) gilt. Daraus folgern wir:

$$x\le y\stackrel{(\cdot x)}{\implies}x^2\le xy\stackrel{(+xy)}{\implies}x^2+xy\le2xy\implies x(x+y)\le2xy$$$$\qquad\stackrel{:(x+y)}{\implies}x\le\frac{2xy}{x+y}\implies x^2\le\left(\frac{2xy}{x+y}\right)^2$$$$0\le(x-y)^2=x^2-2xy+y^2\stackrel{(+4xy)}{\implies}4xy\le x^2+2xy+y^2\implies 4xy\le(x+y)^2$$$$\qquad\stackrel{(:(x+y)^2)}{\implies}\frac{4xy}{(x+y)^2}\le1\stackrel{(\cdot xy)}{\implies}\frac{4x^2y^2}{(x+y)^2}\le xy\implies\left(\frac{2xy}{x+y}\right)^2\le xy$$