Wie stelle ich aber nach n um?

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die Folge aⁿ = \( \sqrt{4*n^2 + 6*n + 1} \) - 2*n konvergiert.

Ideen:

Ich möchte mit ε -n₀-Kriterium zeigen, dass die Folge gegen \( \frac{3}{2} \) konvergiert.

Also :               Für alle ε >0 gilt n = |a_n - a| <ε für fast alle n

| \( \sqrt{4*n^2 + 6*n + 1} \) - 2*n - \( \frac{3}{2} \) | < ε

Wie stelle ich aber nach n um?

Comments

Warum erweiterst du nicht zur 3. binomischen Formel?

Das geht viel einfacher.

Ansonsten bleibt nur unangenehmes Quadrieren.

Answer 1

| \( \sqrt{4*n^2 + 6*n + 1} \) - 2*n - \( \frac{3}{2} \) | < ε

Folge dem Tipp aus dem Kommentar

| \( \frac{\sqrt{4*n^2 + 6*n + 1}  - 2*n  -  \frac{3}{2}} {1} \) | < ε

| \( \frac{\sqrt{4*n^2 + 6*n + 1}  - (2*n +  \frac{3}{2})} {1} \) | < ε

| \( \frac{(\sqrt{4*n^2 + 6*n + 1}  -( 2*n +  \frac{3}{2})) \cdot (\sqrt{4*n^2 + 6*n + 1}  + 2*n +  \frac{3}{2})} {\sqrt{4*n^2 + 6*n + 1}  + 2*n +  \frac{3}{2}} \) | < ε

| \( \frac{4*n^2 + 6*n + 1  -( 2*n +  \frac{3}{2})^2} {\sqrt{4*n^2 + 6*n + 1}  + 2*n +  \frac{3}{2}} \) | < ε

| \( \frac{4*n^2 + 6*n + 1  -4*n^2-6n - \frac{9}{4}} {\sqrt{4*n^2 + 6*n + 1}  + 2*n +  \frac{3}{2}} \) | < ε

| \( \frac{  - \frac{5}{4}} {\sqrt{4*n^2 + 6*n + 1}  + 2*n +  \frac{3}{2}} \) | < ε

\( \frac{  \frac{5}{4}} {\sqrt{4*n^2 + 6*n + 1}  + 2*n +  \frac{3}{2}} \) < ε

\(   \frac{5}{4ε}   \lt \sqrt{4*n^2 + 6*n + 1}  + 2*n +  \frac{3}{2}\) 

Wenn du also   \(  n > \frac{5}{4ε}  \) wählst, dann ist die rechte

Seite sicherlich größer als die linke.

Comments

Danke euch beiden!!