Schnittpunkt zweier Geraden in der Ebene

Question

Aufgabe:

Ich soll den Schnittpunkt berechnen für:

G: (2|1) + r (3|3) = (2|7) + s (4|5)

Problem/Ansatz:

Mein Lehrer möchte das wir es mit dem Gleichungssystem machen und da bin ich jetzt an dem Punkt:

I 2 + 3r = 2 + 4s

II 1 + 2r = 7 + 5s

I  - II 2 + r = -5 + (-s)

Aber ich kann die Gleichung leider nicht berechnen

Wäre sehr lieb wenn mir jemand weiter helfen würde

Danke im voraus

Answer 1

II 1 + 2r = 7 + 5s

Die Gleichung passt nicht zu den beiden Geraden.

I - II

Warum subtrahierst du die Gleichungen?

Comments

Ich war mir beim subtrahieren auch nicht ganz sicher

Wir hatten im Unterricht nur einige Beispiel Aufgaben dazu gemacht und deswegen dachte ich das ich es bei der Aufgabe auch machen müsste

Wie sollte ich es denn machen bzw weiter vorgehen ?

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Warum subtrahierst du die Gleichungen?

Die korrekte Antwort auf diese Frage lautet: Weil in der resultierenden Gleichung ein Variable weniger vorkommt.

I - II 2 + r = -5 + (-s)

Ups, in der resultierenden Gleichung sind immer noch die beiden Variablen vorhanden. Dann hat die Subtraktion überhaupt nichts gebracht.

Bevor du irgendetwas rechnest, solltest du dir überlegen, warum deine Rechnung dich näher zum Ziel bringt. Falls dir da nichts einfällt, dann frag deinen Lehrer.

Wie sollte ich es denn machen bzw weiter vorgehen ?

Die zu den Geraden passenden Gleichungen voneinander subtrahieren. Dann wirst du feststellen, dass die resultierende Gleichung tatsächlich eine Variable weniger hat.

Answer 2

G: (2|1) + r (3|3) = (2|7) + s (4|5)

1.) 2+3r=2+4s  → 3r=4s →r=$\frac{4}{3}$s

2.)1+3r=7+5s →   3r=6+5s  → r=2+$\frac{5}{3}$s

$\frac{4}{3}$s=2+$\frac{5}{3}$s|*3

4s=6+5s

-s=6

s=-6     r=2+$\frac{5}{3}$*(-6)=-8

Answer 3

Willkommen in der Mathelounge,

wenn die Geradengleichungen richtig aufgeschrieben hast, muss die 2. Gleichung

1 + 3r = 7 + 5s lauten.

Wenn du dann die 2. von der 1. Gleichung abziehst, erhältst du

1 = -5 - s ⇒ s = -6

Gruß, Silvia

Comments

Wie komme ich in der 2.Gleichung auf 3r ?

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G: (2|1) + r (3|3) = (2|7) + s (4|5)

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Tut mir leid, hab mich versehentlich beim Richtungsvektor von G vertippt

Der ist (3|2) und nicht (3|3)

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Also lautet das Gleichungssystem

2 + 3r = 2 + 4s

1 + 2r = 7 + 5s

sortiert:

3r - 4s = 0

2r - 5s = 6

Jetzt kann du verschiedene Verfahren anwenden. Beispiel Einsetzungsverfahren:

Die 1. Gleichung ergibt r = $\frac{4}{3}$ s

In die 2. Gleichung einsetzen

$2\cdot \frac{4}{3}s-5s=6\\\frac{8}{3}s-5s=6\\-\frac{7}{3}s=6\\s=-\frac{18}{7}$

Das kannst du für s in die Geradengleichung einsetzen und damit den Schnittpunkt berechnen.

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Ich habe jetzt für r -24/7 raus aber kann den Schnittpunkt nicht berechnen

Heißt es dann das es keinen Schnittpunkt gibt ?

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Dein Ergebnis für r ist richtig.

Das setzt du jetzt in die Geradengleichung ein:

$\left(\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right)-\frac{24}{7} \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right)=$

$\left(\begin{array}{l}2-3 \cdot \frac{24}{7} \\ 1-2 \cdot \frac{24}{7}\end{array}\right)=$

$\left(\begin{array}{l}2-\frac{72}{7} \\ 1-\frac{48}{7}\end{array}\right)=$

$\left(\begin{array}{l}-\frac{58}{7} \\ -\frac{41}{7}\end{array}\right) \approx\left(\begin{array}{l}-8,29 \\ -5,86\end{array}\right)$

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Müsste ich den Schnittpunkt aber nicht für G und H gleichsetzten und nicht nur für G

und hätte ich nicht + statt - rechnen müssen ?

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Du hast G und H gleichgesetzt, um r und s zu berechnen.

Diese Ergebnisse setzt du dann jeweils in die Geradengleichungen ein.

Wenn du für s = -$\frac{18}{7}$ in die 2. Gleichung einsetzt, kommst du auf den gleichen Schnittpunkt.

Wenn r und s negativ sind, musst du - rechnen, sofern es sich bei den Zahlen im Richtungsvektor um positive handelt.

Answer 4

Hallo,

(2|1) + r (3|2) = (2|7) + s (4|5)
I 2 + 3r = 2 + 4s → 3r=4s     → 6r=8s
II 1 + 2r = 7 + 5s → 2r=6+5s → 6r=18+15s

Gleichsetzen:

8s=18+15s

s=-18/7

r=4s/3=-24/7

...

Schnittpunkt (...|..)

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Alte Version:

(2|1) + r (3|3) = (2|7) + s (4|5)

I 2 + 3r = 2 + 4s

II 1 + 3r = 7 + 5s

II-I:  -1=5+s

s=-6

In I einsetzen:

3r=-24

r=-8

Schnittpunkt (-22|-23)

:-)

Comments

Es tut mir sehr leid ich habe am Anfang ein Fehler bei G gemacht

Der Richtungsvektor die Komponenten von (3|2)

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Ok, dann ergänze ich meine Antwort.

:-)

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Viel lieben dank, wäre mir eine Riesen Hilfe ;)