Wenn du z.B. δ ◦σ ◦δ = σ. zeigen willst, dann kannst du das
ja einfach nachrechnen.
Du hast ja \( σ=\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 1&4&3&2 \end{pmatrix}\)
und \(δ =\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&3&4&1\end{pmatrix}\)
Dann ist σ ◦δ ja "σ nach δ", also wendest du erst δ und dann σ an. Bei der 1 gibt das dann
σ ◦δ (1) = σ (2)=4 und bei der 2
σ ◦δ (2) = σ (3)=3 etc.
σ ◦δ (3) = σ (4)=2
σ ◦δ (4) = σ (1)=1
Insgesamt also schon mal
\(σ ◦δ =\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 4&3&2&1\end{pmatrix}\)
Um δ ◦σ ◦δ auszurechnen musst du ja danach nur nochmal δ anwenden und bekommst
\( δ ◦σ◦δ =\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 1&4&3&2\end{pmatrix}\)
und das ist in der Tat das gleiche wie σ.
Entsprechend kannst du auch die anderen Gleichungen von a) zeigen.
Und für b) musst du nur schauen, was man durch δ und σ
alles für Permutationen erzeugen kann. Diese bilden
dann die gesuchte Untergruppe. Und dann gibst du
denen vielleicht auch noch Namen, etwa so
Das sind δ α= δ^2 ß= δ^3
ε = σ ◦δ [ Das ist ja oben schon ausgerechnet und
gibt quasi die Spiegelung an einer Mittelsenkrechten zu
zwei Quadratseiten. Und so erhältst du letztlich die
"Symmetriegruppe des Quadrats" siehe 3.2 bei
https://home.ph-freiburg.de/deisslerfr/geometrie/export_pdf_ss05/folien-kapitel_3_05-2s.pdf
