Aufgabe über Permutation

Question

Aufgabe:

Sei E ⊂R² die Menge der Ecken eines Quadrats mit Mittelpunkt M. Sei weiter
• δ eine Selbstabbildung von E, die durch eine Drehung um 90° um M gegen den Uhr-
zeigersinn gegeben ist,
• σ eine Selbstabbildung von E, die durch die Spiegelung an einer Diagonalen gegeben
ist.
Durch Nummerierung der Ecken kann man σ und δ als Permutationen aus S4 auffassen.
a) Zeigen Sie: σ² = id, δ⁴ = id und δ ◦σ ◦δ = σ.
b) Bestimmen Sie die von σ und δ erzeugte Untergruppe von S4 und stellen Sie die Ver-
knüpfungstafel auf.

Problem/Ansatz:

Wie soll man da am Besten rangehen bzw. wie soll man das ganze lösen?

Answer 1

Verwende den Tipp und nummeriere die Ecken etwa so

                                    1                      4

                                     2                     3

Dann entspricht  z.B. der Spiegelung an der Diagonalen
durch 1 und 3 die Permutation

   1   2    3    4
   1   4    3    2

oder etwa δ wäre      1  2    3    4
                                 2  3    4    1          etc.  

Comments

Also, durch deinen Tipp hab ich verstanden, wie man δ und σ "definiert" bsw wie die aussehen.

Jedoch weiß ich jetzt nicht genau, wie man a) und b) damit lösen kann

---

Wenn du z.B. δ ◦σ ◦δ = σ. zeigen willst, dann kannst du das

ja einfach nachrechnen.

Du hast ja $σ=\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 1&4&3&2 \end{pmatrix}$
und $δ =\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&3&4&1\end{pmatrix}$

Dann ist σ ◦δ ja "σ nach δ", also wendest du erst δ und dann σ an. Bei der 1 gibt das dann
σ ◦δ (1) = σ (2)=4  und bei der 2 
σ ◦δ (2) = σ (3)=3    etc.
σ ◦δ (3) = σ (4)=2
σ ◦δ (4) = σ (1)=1 
Insgesamt also schon mal
$σ ◦δ =\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 4&3&2&1\end{pmatrix}$
Um δ ◦σ ◦δ auszurechnen musst du ja danach nur nochmal δ anwenden und bekommst
$δ ◦σ◦δ =\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 1&4&3&2\end{pmatrix}$

und das ist in der Tat das gleiche wie σ.
Entsprechend kannst du auch die anderen Gleichungen von a) zeigen.

Und für b) musst du nur schauen, was man durch δ und σ

alles für Permutationen erzeugen kann. Diese bilden

dann die gesuchte Untergruppe. Und dann gibst du

denen vielleicht auch noch Namen, etwa so

Das sind  δ   α= δ²  ß= δ³

ε = σ ◦δ [ Das ist ja oben schon ausgerechnet und

gibt quasi die Spiegelung an einer Mittelsenkrechten zu

zwei Quadratseiten. Und so erhältst du letztlich die

"Symmetriegruppe des Quadrats"  siehe 3.2 bei

https://home.ph-freiburg.de/deisslerfr/geometrie/export_pdf_ss05/fol…

---

muss es nicht bei der diagonalen so lauten? :

σ = klammer (siehe Tabelle)

1	2	3	4
3	4	1	2

klammer

---

Wenn die Diagonale durch 1 und 3 geht,

bleiben 1 und 3 beim Spiegeln unverändert.