a)
Die allgemeine Gleichung zur Beschreibung der Eiskugel lautet:
(x-x0)^2 + (y-y0)^2 = r^2
Trivialerweise wird der Mittelpunkt der Kugel auf der y-Achse liegen (x0=0), also mittig im Becher. Eine Verschiebung nach rechts oder links würde bedeuten, die Kugel kann noch nach unten rollen. Außerdem beträgt der Radius 2 cm.
Damit folgt:
x^2 + (y-y0)^2 = 4
Nach y umgestellt:
f(x): y = ± √(4-x2) + y0
Man erhält also 2 Funktionen. Die eine begrenzt die Kugel nach oben, die andere nach unten. Für uns ist die untere die Interessante, da diese mit dem Becher in Kontakt tritt. Aber welche ist die Richtige? Wir benötigen die Funktion, die für x>0 monoton steigend ist. Die Funktion mit + am Anfang hat für x=0;1;2 die Funktionswerte 2+y0; √3+y0;0+y0. Das bedeutet sie ist monoton fallend. Die Funktion mit - am Anfang hat für x=0;1;2 die Funktionswerte -2+y0; -√3+y0;0+y0. Sie ist also monoton steigend und unsere gesuchte Funktion.
Nun gilt es die genaue Lage der Kugel, also y0, zu ermitteln.
Wir suchen diejenige Kugel, für die y=√3*x eine Tangente ist.
Der Berührpunkt zwischen Kugel und Tangente muss folgende Eigenschaften haben:
1) Die Funktionswerte beider Funktionen müssen an dieser Stelle gleich sein.
2) Der Anstieg an dieser Stelle muss gleich sein.
Also muss gelten:
f ' (x*) = √3
f ' (x) = 2x/(2*√(4-x2) = x/√(4-x2)
Folglich:
x*/√(4-(x*)2) = √3
(x*)^2/ (4-(x*)2) = 3
(x*)^2 = 12 -3(x*)2
4(x*)2 = 12
x* = ±√3
Die Probe ergibt, dass -√3 nur Scheinlösung ist.
Also bleibt: x* = √3
Da der Punkt Teil der Tangente ist, muss für seinen y-Wert gelten:
y = √3*√3 = 3
Da der Punkt auch Teil der Kugel ist, muss gelten:
f(√3) = - √(4-(√3)2) + y0 = 3
Daraus folgt: y0 = 4
Damit lautet die Kugelgleichung: x^2 + (y-4)^2 = 4
Somit stellt sich das Problem wie folgt dar:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+y%3Dsqrt+%283%29x+and+%28y-4%29^2%2Bx^2%3D4+and+y%3D3+and+x%3D0+and+y%3D0
Das Volumen des Bechers unter der Kugel errechnet sich also aus dem Volumen des Kegels, der sich aus der Funktion √3x und der horizontalen Gerade durch den Berührpunkt y=3 ergibt, minus dem Volumen der Kugel unterhalb dieser horizontalen Gerade y=3 (Kugelsegment).
Daten des Kegels:
r=√3 (x-Koordinate des Berührpunktes)
h=3 (y-Koordinate des Berührpunktes)
Daten des Kugelsegmentes:
r=2 (Radius der Kugel)
h=1 (Abstand zwischen unterem Kugelrand und y-Koordinate des Berührpunktes)
VKegel = π/3*r2*h = π/3*√32*3 = 3π
VKugelsegment = π/3*h2 *(3r-h) = π/3*12 *(3*2-1) = 5/3*π
Die Differenz ergibt: V = 3π - 5/3*π = 4/3π ≈ 4,2
Der freie Raum unter der Kugel hat also ein Volumen von 4,2 cm^3 .
b)
Das Bechervolumen errechnet sich nach der Formel für einen Kegel mit r=4 cm und h=g(4)=√3*4 cm:
VBecher = π/3*r2*h = π/3*(4cm)2*4*√3 cm = 64π/√3 cm^3
VEiskugel = 4π/3*r3 = 4π/3*(2cm)3 = 32/3*π cm^3
VLikör = 1000/16 cm^3
Vfrei = VBecher - VEiskugel - VLikör = 64π/√3 cm^3 - 32/3*π cm^3 - 1000/16 cm^3= 20,07 cm^3
Der Becher läuft also nicht über.
c)
VEiskugel = 4π/3*r3 = 4π/3*(2cm)3 = 32/3*π cm^3
Das geschmolzene Eis füllt also einen Kegel mit dem Volumen 32/3*π cm^3 .
VKegel = π/3*r2*h
Wir kennen weder Radius noch Höhe. Wir wissen aber, dass gelten muss h=g(x) = √3*x = √3*r
Oder nach r umgestellt:
r = h/√3
Damit folgt:
VKegel = π/3*h2/3 * h
h = (9*VKegel/ π)1/3 = (9*32/3*π cm^3 / π)1/3 = (96 cm^3)1/3
h = 4,58 cm
Das geschmolzene Eis steht also 4,58 cm hoch im Becher.
