Untersuchen der Konvergenz oder (bestimmten) Divergenz einer Folge

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie für die folgenden Beispiele die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) auf Konvergenz, (bestimmte) Divergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

i) \( a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{5} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \);

Problem/Ansatz:

Nach ein wenig hin und her, müsste die Folge einen Grenzwert haben, nämlich 1, aber leider weiß ich nicht, wie man mit der Def. der Konvergenz oder eher gesagt bei den Abschätzungen mit Betrag weiterumformen kann.

Also wie \( |\left(1+\frac{1}{n}\right)^{5} -1| \) soll man das abschätzen? :/

Comments

Würde eigentlich Bernoulli-Ungleichung funktionieren?

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Es ist \((1+1/n)^5>1\), deswegen kannst du die Betragsstriche

schon mal weglassen. Für n>1 kannst du dann die Bernoullische

Ungleichung anwenden.

Ah! Sehe, dass du schon selbst drauf gekommen bist :-)

Natürlich kannst du auch direkt die Limes-Sätze

für konvergente Folgen nutzen ...

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Stimmt, dann muss einfach mit dem Pascalschen Dreieck nachschauen, wie es bei der Potenz 5 ausfällt.

Wäre wahrscheinlich leichter als jetzt mit Def. Konvergenz und Bernoulli zu argumentieren...

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Ich meine es noch einfacher:

\(\lim(1+1/n)^5=(\lim(1+1/n))^5=(1+\lim(1/n))^5=1^5=1\)

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Stimmt, ich vergesse immer, dass man einfach die Potenz so rausschreiben darf :)

Dankeschön, dann ist die Folge tatsächlich konvergent gegen 1.

Answer 1

(1+1/n)⁵-1=5/n+10/n²+10/n³+5/n⁴+1/n⁵. Für n→∞ geht jeder diese Summanden gegen 0.