Zeigen Sie, dass die Menge ein Unterraum ist

Question

Sei U der Vektorraum aller Funktionen u: ℝ → ℝ und
V := {v ∈ U | ∀x, y ∈ ℝ : x < y ⇒ v(x) ≤ v(y)} und
W := {w ∈ U | ∀x, y ∈ ℝ : x < y ⇒ w(x) ≥ w(y)}
die Teilmengen aller monoton wachsender beziehungsweise monoton fallender Funktionen.
Zeigen Sie, dass die Menge
V + W := {v + w | v ∈ V, w ∈ W}
ein Unterraum von U ist.

Danke im Voraus

Answer 1

Es ist leicht zu erkennen, dass \(V+V\subset V\) und \(W+W\subset W\) gilt,

woraus die additive Abgeschlossenheit von \(V+W\) folgt.

Ferner ist offenbar für relle \(\lambda\geq0\) :

\(\lambda\cdot V\subset V\) und \(\lambda\cdot W\subset W\), also

auch \(\lambda\cdot (V+W)\subset V+W\).

Für reelle \(\lambda< 0\) bekommt man

\(\lambda\cdot V\subset W\) und \(\lambda\cdot W\subset V\), also

\(\lambda\cdot (V+W)\subset \lambda\cdot V+\lambda\cdot W\subset W+V=V+W\).