Zeigen Sie, dass die Menge ein Unterraum ist

Question

Sei U der Vektorraum aller Funktionen u: ℝ → ℝ und
V := {v ∈ U | ∀x, y ∈ ℝ : x < y ⇒ v(x) ≤ v(y)} und
W := {w ∈ U | ∀x, y ∈ ℝ : x < y ⇒ w(x) ≥ w(y)}
die Teilmengen aller monoton wachsender beziehungsweise monoton fallender Funktionen.
Zeigen Sie, dass die Menge
V + W := {v + w | v ∈ V, w ∈ W}
ein Unterraum von U ist.

Danke im Voraus

Answer 1

Es ist leicht zu erkennen, dass $V+V\subset V$ und $W+W\subset W$ gilt,

woraus die additive Abgeschlossenheit von $V+W$ folgt.

Ferner ist offenbar für relle $\lambda\geq0$ :

$\lambda\cdot V\subset V$ und $\lambda\cdot W\subset W$, also

auch $\lambda\cdot (V+W)\subset V+W$.

Für reelle $\lambda< 0$ bekommt man

$\lambda\cdot V\subset W$ und $\lambda\cdot W\subset V$, also

$\lambda\cdot (V+W)\subset \lambda\cdot V+\lambda\cdot W\subset W+V=V+W$.