Für welches t liegt der Tiefpunkt auf der x-Achse? Funktionen mit Parameter

Question

Aufgabe:

Für welches t liegt der Tiefpunkt auf der x-Achse?

Problem/Ansatz:

Folgende Funktion mit dem Parameter t liegt vor:

-1/6x^3 + 3/2tx + 4

Dabei ist t eine positive Reelle Zahl, ungleich 0.

Mein Ansatz: Den X-Wert des Tiefpunktes (-√3t) in die Funktion einsetzen und das Ergebnis = 0 setzen.

Bei meiner Rechnung muss jedoch immer etwas schief laufen oder mein Ansatz ist falsch, da ich am Ende etwas falsches herausbekomme (habe schon mein Ergebnis in GeoGebra überprüft).

Wäre optimal, wenn mir der Rechenweg erläutert werden würde mit dem korrekten Ergebnis.

Danke vielmals

Comments

Hallo,

eine Reaktion von dir wäre ja ganz nett. Hast du es jetzt verstanden?

Answer 1

Hallo,

ich vermute, dass du folgende Funktion meinst:

\(f(x)=-\dfrac16x^3 + \dfrac32tx + 4\)

\(f'(x)=-\dfrac12x^2+ \dfrac32t \)

\(f'(x_E)=0=-\dfrac12x_E^2+ \dfrac32t\\ x_E=- \sqrt{3t} \)  Minimum

\(f(-\sqrt{3t})= -\dfrac16( -\sqrt{3t} )^3 + \dfrac32t\cdot(- \sqrt{3t}) + 4\)

\(f(-\sqrt{3t})=- t\cdot( \sqrt{3t}) + 4=0\\   t\cdot( \sqrt{3t}) =4\\t=\sqrt[3]{16/3}  \)

:-)

PS:

Noch Fragen?

Comments

Vielen Dank!

Durch welchen Rechenschritt komme ich am Ende von t * (√3t) = 4 auf das Ergebnis t?

Das ist für mich noch nicht ganz nachvollziehbar

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t*√(3t) = t*√t* √3 = t*t^(1/2)*√3 = t^(3/2)*√3

-> t^(3/2)*√3 =4

t^(3/2)= 4/√3

t= (4/√3)^(2/3) = 3.Wurzel aus (4/√3)^2 = 3.Wurzel aus (16/3)