Beschränkte und monotone Funktionen addieren und multiplizieren

Question

f,g: ℝ → ℝ . Ich soll nun beweisen bzw. widerlegen (mit einem Gegenbeispiel), dass folgendes gilt:

1. f,g beschränkt ⇒ f+g beschränkt

2. f,g beschränkt ⇒  f*g beschränkt

3. f,g monoton wachsend ⇒ f+g monoton wachsend

4. f,g monoton wachsend ⇒ f * g monoton wachsend

für dir erste teilaufgabe habe ich folgenden ansatz:

f(x) = x ,x ∈(0,1),   g(x) = x ,x ∈(0,1)     , f + g =...

mehr weiß ich leider nicht gerade...

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Es seien f, g : R → R. Beweisen oder widerlegen (mit einem Gegenbeispiel) Sie, dass Folgendes gilt:

Stichworte: beweise

Aufgabe:

Es seien f, g : R → R. Beweisen oder widerlegen (mit einem Gegenbeispiel) Sie, dass Folgendes gilt:
(i) f, g beschränkt ⇒ f + g beschränkt,
(ii) f, g beschränkt ⇒ f · g beschränkt,
(iii) f, g monoton wachsend ⇒ f + g monoton wachsend,
(iv) f, g monoton wachsend ⇒ f · g monoton wachsend

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Aufgabe irgendwie nicht, könnte mir jemand behilflich sein?

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Hallo User42. Deine Frage ist nun ein Kommentar hier. Du scheinst dasselbe wissen zu wollen, wie Torsten K vor ein paar Tagen.

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Ja genau

Ich komme einfach nicht wieder und benötige Hilfe bei der Lösung weil ich die Aufgaben morgen abgeben muss.

Mvg

Answer 1

Hallo schreib auf , was es heisst f ist beschränkt nach oben: f(x)<S1 für alle  x aus dem Definitionsgebiet, dasselbe  für g mit S2, was weisst du dann über f+g? (S können negativ oder positiv sin  dann f*g

dasselbe mit beschränkt nach unten,

monoton wachsend und differenzierbar heisst f'>0, sonst f(x1)<f(x2) falls x1<x2

zu 4 f(x) =x monoton wachsend g(x)=2x was ist mit f*g?

lul

Comments

was soll S1 bedeuten, und habe fast nichts verstanden tut mir leid..

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Hallo,

wenn du S nicht verstehst, kannst du schreiben wie du beschränkt definierst oder für f(x) hinschreibst?

lul

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achso, ja C ist unsere beschränkung also, x ≤ C, oder x ≥ c

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Hallo,Torsten C.

hast du vielleicht eine Lösung, weil ich sitze seit Stunden auch an der Aufgabe und weiß nicht was ich tun soll?

Mvg

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Hallo

nach oben beschränkt, f(x)<C1 für alle , g(x)<C2 für alle x, Was folgt für f(x)+g(x)? was für f*g?

f(x1)<f(x2) für x1<x2 dasselbe für g was folgt für die Summe?

hast du das Gegenbeispiel für Produkt gesehen?

Was habt ihr denn probiert?

lul

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Ich verstehe generell das Thema nicht und ich muss das morgen abgeben habe alle Aufgaben geschafft außer das hätten sie vielleicht eine Lösung

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Hallo

die habe ich doch beinahe hingeschrieben? Was hast du denn in a für f+g und f*g raus?

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Beschränkt nach Oben∶ f(x)≤ S1 für alle x ∈ R
Beschränkt nach Oben∶ g(x)≤S2 für alle x ∈ R
|(f+g)(x)|=|f(x)+g(x)| ≤ |f(x)|+ |g(x)| ≤ S1+S2

Beschränkt nach Unten∶ f(x)≥ S1 für alle x ∈ R
Beschränkt nach Unten∶ g(x)≥S2 für alle x ∈ R
|(f+g)(x)|=|f(x)+g(x)| ≥ |f(x)|+ |g(x)| ≥ S1+S2

Somit ist die Summe zweier beschränkter Funktionen auch beschränkt.

Ist das richtig so?

mfg

noob420

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Hallo

richtig, aber warum plötzlich der Betrag? der gehört da nicht hin

lul

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Wollte jetzt keinen neuen Thread dafür aufmachen und mich vergewissern.

LG

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Hallo den Kommentar versteh ich nicht, die Betragsungleichungen sind so falsch.

Gruß lul

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Oh, sie meinen die Betragsungleichung bei der Beschränktheit nach unten?

mfg

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Warum denn überhaupt Beträge, wenn du nach unten und oben unterscheidest?

lul

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Stimmt! Eigentlich reicht ja nur die eine Ungleichung |(f+g)(x)|=|f(x)+g(x)| ≤ |f(x)|+ |g(x)| ≤ S1+S2 weil man damit ja die obere + untere Schranke abdeckt.

mfg

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User42 hat sich soeben nochmals gemeldet in einem Kommentar zur Frage. Diesbezüglich meine Frage: Gehören die Beträge, wenn schon, nicht eher um S1 und S2?

Answer 2

Was bedeutet bei euch der Anfang: f, g : R → R. Sollen beide Definitionsbereiche ganz R sein als keine Definitonslücken vorkommen? Beim Wertebereich kann das bei beschränkten Funktionen ja nicht stimmen. ,

Falls mit * die Multiplikation gemeint ist, könnte man bei (iv) als Gegenbeispiel bei f und g jeweils nur positive oder nur negative Funktionswerte erlauben. Also z.B. f(x) = arctan(x) +3 und g(x) = arctan(x) - 3

Beide sind nicht surjektiv.

Im hiesigen Plotter unüblicherweise atan für arctan verwenden, falls der noch tut.

~plot~ atan(x)+3; atan(x)-3; (atan(x)+3) (atan(x)-3) ; [[-10|10|-10|10]] ~plot~