Funktionsterm in Produkt umschreiben + Ableiten

Question

Aufgabe:

Schreiben Sie den Funktionsterm zunächst als Produkt und leiten Sie f anschließend ab.

a) f(x) = sin(x)/x

b) f(x) = x + 1/2√x

c) f(x) = sin²(x)

d) f(x) = x²-9/²√x

e) f(x) = x² - √x/x

/ = Bruchstrich

Problem/Ansatz:

Habe bei a)

Produkt: f(x) = x • sin(x)

Ableitung: f'(x) = 1 • sin(x) + cos(x) • x

b)

Produkt: f(x) = 2√x • (x+1)

Ableitung: 1/3√x+1 + 2√1

c)

Produkt: f(x) = (sin(x))²

Ableitung: f'(x) = 2cos(x) + x² • sin(x)

Dabei ist u(x) = x², u'(x) = 2x und

v(x) = sin(x), v'(x) = cos(x)

Bin mir unsicher, ob das Produkt so richtig ist? (= Bruch umstellen) und ob die Ableitung so Sinn macht. Oder ob es bei c) zum Beispiel f'(x) = 2cos(x) + sin(x)² sein muss.

Answer 1

Schreiben Sie den Funktionsterm zunächst als Produkt

Division ist Multiplikation mit dem Kehrwert. Sollte eigentlich ab dem Zeitpunkt bekannt sein, ab dem ihr Brüche multipliziert und dividiert habt.

a) f(x) = sin(x)/x

Hier wird \(\sin(x)\) durch \(x\) geteilt. Wegen obigem kannst du das in ein Produkt umwandeln indem du \(\sin(x)\) mit dem Kehrwert von \(x\) multiplizierst. Der Kehrwert von \(x\) ist \(\frac{1}{x}\). Also

        \(f(x) = \sin(x)\cdot \frac{1}{x}\).

Jetzt kann schon mal die Produktregel angewendet werden.

Wenn sich auch noch an die Definition Potenzen mit negativen Exponenten erinnert (\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)), dann kann man \(\frac{1}{x}\) weiter umschreiben zu \(x^{-1}\) und die Regel zur Ableitung von Potenzfunktionen anwenden.

/ = Bruchstrich

Das ist üblich. Du brachst es deshalb nicht zusätzlich erwähnen.

b) f(x) = x + 1/2√x

Laut Punkt- vor Strichrechnung ist 1 der Zähler des Bruches und 2 der Nenner. Packe den Zähler in Klammern ein falls 1 nicht der Zähler sein soll. Packe den Nenner in Klammern ein falls 2 nicht der Nenner sein soll.

c) f(x) = sin²(x)

\(f(x) = \sin(x)\cdot \sin(x)\) laut Definition von Potenzen. Zum Ableiten Produktregel anwenden.

Answer 2

Schreiben des Funktionsterm als Produkt (für das Ableiten nicht immer erforderlich oder sinnvoll)

a) f(x) = sin(x)/x= sin(x)·x^-1

b) f(x) = x + 1/2√x=√x·(√x+1/2)

c) f(x) = sin²(x)= sin(x)·sin(x)

d) f(x) = x²-9/²√x=x^-1/2·(x^5/2-9)

e) f(x) = x² - √x/x=1/x·(x³-√x)

Comments

Ok danke, wie genau bist du auf b) gekommen? Dachte immer das wäre f(x) = x+1/2√x = (x+1) • 2√x^-1

Aber dann hab ich diese ^-1 in der Wurzel.. Hmm

Und bei d) bin ich mir auch noch unsicher wie man die Wurzel nehmen kann.

Bei e) habe ich jetzt f(x) = x² - √x/x = (x² - √x) • x^-1 geht das auch?

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b) f(x) = (x+1)/(2√x) = (x+1) • (2√x)^-1 nur wenn Klammern fehlen, hast du recht.

d) Soll ²√x=√x bedeuten?

e) f(x) = (x² - √x)/x = (x² - √x) • x^-1 nur wenn Klammern fehlen, hast du recht.