Tangente, Ellipse, Gerade

Question

Hallo, kann mir bitte jemand bei diesem Beispiel helfen?

Bestimme jene Tangenten en die Ellipse ell, die zur Geraden g parallel sind. Gik auch die Koordinaten der Berührpunkte an.

g: 8x + 9y = 132

ell: 4x^2 + 9y^2 = 400

Danke vielmals im Voraus

Comments

Gik auch die Koordinaten

Da wünsche ich viel Erfolg beim Giken.

Answer 1

Die Gerade g hat den Anstieg -8/9.

Die Ellipse besteht aus zwei Halbellipsen mit den Gleichungen y=\( \sqrt{(400-4x^2)/9} \) und y=\(- \sqrt{(400-4x^2)/9} \).

Bilde von jeder Halbellipse die erste Ableitung und setze sie gleich -8/9.

Comments

Ich verstehe das nicht ganz, wie soll ich weiter vorgeben?

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Brauchst du eine Erklärung für "Ableitung"?

Answer 2

Bestimme jene Tangenten an die Ellipse ell, die zur Geraden g parallel sind. Gib auch die Koordinaten der Berührpunkte an.
g: \(8x + 9y = 132\)       →   \(y=\red{-\frac{8}{9}}x+\frac{132}{9}\) 

ell: \(4x^2 + 9y^2 = 400\)

\(e(x,y)=4x^2 + 9y^2 - 400\)

\(e_x(x,y)=8x\)

\(e_y(x,y)= 18y\)

\(e'(x)=-\frac{e_x(x,y)}{e_y(x,y)}=-\frac{8x}{18y}=-\frac{4x}{9y}\)

\(\red{-\frac{8}{9}}=-\frac{4x}{9y}\)

\(y=\frac{1}{2}x\)  schneidet die Ellipse in den beiden Berührpunkten der Tangenten:

\(4x^2 + \frac{9}{4}x^2 = 400\)

\(x_1=8\)   \(y_1=4\)

\(x_2=-8\)  \(y_2=-4\)

Nun mit einem geeigneten Verfahren die beiden Tangenten berechnen.