Lage von Geraden und Schnittpunkt berechnen

Question

Aufgabe:

Zwei Modelleisenbahnen fahren im Schie-
nennetz. In bestimmten Abschnitten soll ihr
Weg bei geradlinigem Streckenverlauf folgen-
dermaßen modelliert werden: Bahn 1 ist bei
Beobachtungsbeginn in Punkt P(2|1|2) und
erreicht nach einer Sekunde den Punkt
Q (14|5|5). Bahn 2 befindet sich entsprechend
in den Punkten R (-215|1) bzw. S (4|171 5). Alle Koordinatenangaben sind in Zentimetern.
b) Überprüfen Sie rechnerisch, ob sich die Wege der beiden Bahnen kreuzen

Problem/Ansatz:

Also ich hab meine zwei Geraden schon gestellt. Einmal gx= (2|1|2)+s*(12|4|3) und hx=(-2|5|1)+r*(6|12|4). Die habe ich dan gleichgesetzt.Daraus bekomme ich dann das LGS

12s-6r=-4

4s-12r=4

3s-4r=-1

Wenn ich die jedoch löse bekomme ich im Taschenrechner keine Lösungen.In den Lösungen im Buch steht jedoch „Die Wege der beiden Bahnen kreuzen sich, ohne sich zu schneiden. Im Punkt (- 26/5|- 7/5|1/5) fährt Bahn 1 „über“ Bahn 2, deren Strecke durch den Punkt (-26/5|-7/5|-17/5) verläuft“. ich verstehe jz gar nicht wie die auf die Antwort kommen

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Daraus bekomme ich dann das LGS
12s-6r=-4
4s-12r=4
3s-4r=-1

das ist richtig,

Wenn ich die jedoch löse bekomme ich im Taschenrechner keine Lösungen

das ist auch richtig ;-) Wenn sich die Bahnen nicht schneiden, also keinen gemeinsamen Punkt haben, kann es auch keine Lösung für drei Gleichungen mit nur zwei Unbekannten geben.

Um den 'Kreuzungspunkt' in der horizontale Ebene zu berechnen, so löse das Gleichungssysten für die xy- (bzw \(x_1\,x_2\))-Koordinate. Das sind die ersten beiden Gleichungen:$$12s-6r=-4\\ 4s-12r=4 \\\implies s=-\frac{3}5,\quad r=-\frac{8}{15}$$setze dies in die beiden Geradengleichungen ein und Du kommst zu den Punkten aus der Lösung.

Hier noch die Szene im Geoknecht3D

(klick auf das Bild)

Gruß Werner

Comments

Okay Dankeschön. Ich hab noch eine Fragw dazu. Muss ich dann von Anfang an nur die 2 Gleichungen nehmen (x1&x2Ebene) oder erstmal alle drei und wenn ich da „keine Lösung“ habe dann nur die von der x1&x2 Ebene?

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Muss ich dann von Anfang an nur die 2 Gleichungen nehmen (x1&x2Ebene) oder erstmal alle drei und wenn ich da „keine Lösung“ habe dann nur die von der x1&x2 Ebene?

Das ist eine Frage der Anwendung. D.h. was möchtest Du am Ende heraus bekommen? Wenn Du einen Schnittpunkt zweier Geraden im Raum berechnen möchtest, so rechnet man mit drei Gleichungen. Ist die Lösungsmenge leer (= kein Schnittpunkt), dann verlaufen die Geraden windschief, so wie hier, oder parallel

Eine Platte einer Modelleisenbahn hat auch eine 2D-Sicht. D.h. Dich interessiert vielleicht wo die Kreuzung ist, wenn man sich alle Gleise auf die horizontale Ebene der Grundplatte projiziert denkt. Dann lässt man die dritte Koordinate (die Höhe) einfach weg. Und wenn man dann den Kreuzungspunkt gefunden hat, kann man den vertikalen Abstand berechnen und prüfen ob der untere Zug auch unten durch passt.