Aloha :)
Wir betrachten die Folge:$$a_n\coloneqq\left(1+\frac1n\right)^n\quad;\quad n\in\mathbb N$$
1) Beschränktheit:
Gemäß der Bernoulli-Ungleichung \((1+x)^n\ge1+nx\) für \(x\ge-1\) gilt:$$\left(1+\frac1n\right)^n\ge1+n\cdot\frac1n=2$$
Mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes können wir den Term nach oben abschätzen:$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot\frac{1}{n^k}$$$$\phantom{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}\cdot\frac{1}{n^k}$$$$\phantom{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}$$$$\phantom{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}<\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot1^k=\frac{1}{0!}+\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k!}\le1+\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}=1+\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}$$$$\phantom{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=1+\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}=1+2-2\left(\frac{1}{2}\right)^n=3-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}<3$$Damit haben wir gezeigt, dass die Folge beschränkt ist:$$2\le\left(1+\frac1n\right)^n<3\quad\text{für alle } n\in\mathbb N$$
2) Monotonie:
Wir überlegen uns zunächst, dass für zwei positive Zahlen \(a,b>0\) gilt:$$a\le b\implies ab+a\le ab+b\implies a(b+1)\le b(a+1)\implies\frac{a}{b}\le\frac{a+1}{b+1}\quad(\ast)$$Nun verwenden wir erneut den binomischen Lehrsatz und formen wie folgt um:$$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{1}{n^k}$$$$\phantom{a_n}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{n\cdot(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!\cdot n^k}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\,\frac{n}{n}\,\frac{n-1}{n}\,\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}$$Jetzt nutzen wir die zuvor gezeigte Ungleichung \((*)\), indem wir in jedem Bruch das \(n\) im Zähler und im Nenner um \(1\) erhöhen:$$a_n\le\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\,\frac{n+1}{n+1}\,\frac{n}{n+1}\,\frac{n-1}{n+1}\cdots\frac{n+1-k+1}{n+1}$$$$\phantom{a_n}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\,\frac{(n+1)!}{(n-k+1)!\,(n+1)^k}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{(n+1)!}{k!\,(n-k+1)!}\,\frac{1}{(n+1)^k}$$$$\phantom{a_n}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k}<\sum\limits_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k}$$$$\phantom{a_n}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\,1^{(n+1)-k}\left(\frac{1}{n+1}\right)^k=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}$$$$\phantom{a_n}=a_{n+1}$$Da in der Abschätzung ein echtes Kleiner-Zeichen (ohne Gleichheit) vorkommt, gilt tatsächlich:$$a_n<a_{n+1}\quad\text{für alle }n\in\mathbb N$$Die Folge \((a_n)\) ist also streng monoton wachsend.
Da jede beschränkte monotone Folge konvergiert, trifft dies auch auf \((a_n)\) zu, und ihr Grenzwert liegt zwischen \(2\) und \(3\).
