Welche Bedeutung haben die Einträge der Matrix AA^t?

Question

Aufgabe:

In einer Gruppe von Menschen M₁, . . . , M_n spricht jeder eine gewisse Teilmenge der Sprachen {S₁ , . . . , S_m }. Sei A die Matrix mit n Zeilen und m Spalten, die an der Stelle (i,j) den Eintrag 1 hat, wenn M_i die Sprache S_j beherrscht., und 0, wenn dies nicht der Fall ist. Welche Bedeutung haben die Einträge der Matrix AA^t?

Answer 1

\(\textbf{A}\in \mathbb{R}^{n, m} \)

\(\begin{aligned}   (\textbf{A}\textbf{A}^{\mathsf{T}})_{i, j}   = \sum_{k=0}^{m} (\textbf{A})_{i, k}(\textbf{A}^{\mathsf{T}})_{k, j}   = \sum_{k=0}^{m} (\textbf{A})_{i, k}(\textbf{A})_{j, k}= \sum_{k=0}^{m} [M_{i} \text{ spricht }S_{k} \text{ und }M_{j} \text{ spricht }S_{k}] .\end{aligned}\)
Der Eintrag \((\textbf{A}\textbf{A}^{\mathsf{T}})_{i, j}\) zählt also die Anzahl an Sprachen, welche sowohl der Mensch \(i\) als auch der Mensch \(j\) sprechen.

Anmerkung:
\( [\text { Bedingung } B]=\left\{\begin{array}{l} 1, \text { Bedingung } B \text { ist erfüllt } \\ 0, \text { sonst } \end{array}\right. \)
Alternativ kann auch das Kroneckersymbol verwendet werden, ich finde jedoch die obige Variante verständlicher.