Bestimmen Sie die Dimensionen der folgenden Vektorräume über den jeweiligen Körpern:

Question

Sei F ein beliebiger Körper. Bestimmen Sie die Dimensionen der folgenden Vektorräume über den jeweiligen Körpern:

(a) ℂ über ℝ
(b) F^m×n:= {(a_ij )_{i=1,...,m, j=1,...,n} | a_ij ∈ F} über F
(c) ℝ über ℚ
(d) F [X] := {∑_i∈N0a_iXⁱ| (a_i)_i∈N0 ∈ F^N0, a_i ≠ 0 für endlich viele i ∈ N₀} über F.
Hinweis: Begründen Sie Ihre Antwort durch die Angabe einer Basis respektive einer unendlichen
linear unabhängigen Teilmenge

Answer 1

(a)  Basis wäre die Menge {1 ; i }, also dim=2

(b) Basis wäre die Menge aller Matrizen aus F^(mxn), die an genau

einer Stelle eine 1 und sonst nur 0en haben.

==>   dim = n*m