Ist auch das Umgekehrte wahr?

Question

Aufgabe:

Ich habe bewiesen, dass, wenn einige Vektoren (v1,v2) linear unabhängig sind, auch (v1,v1+v2) linear unabhängig ist.
Ist auch das Umgekehrte wahr? Wie kann ich es beweisen?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Seien (v1,v1+v2) linear unabhängig

Und seien a,b ∈ℝ mit av1 + bv2 = 0

==>    av1 - bv1 +bv1 + bv2 = 0

==> (a-b)v1 + b(v1+v2) = 0

Wegen (v1,v1+v2) linear unabhängig folgt a-b=0 und b=0

also auch a=0.

Somit sind auch v1, v2 lin. unabh.

Comments

Warum am anfang :

av1-bv1?

Answer 2

Hallo,

v1,v2 linear unabhängig

--> a*v1+b*v2=0 , einzige Lösung a=b=0

--> r*v1+s*(v1+v2)=(r+s)*v1+s*v2=0

--> r+s=0, s=0

--> r=0

--> v1, v1+v2 lin. unabh.