Maximaler Flächeninhalt im Baumstamm-Querschnitt

Question

Aus einem Baumstamm mit Kreisquerschnitt (Radius r) soll ein Balken mit Rechteckquerschnitt (Breite b, Höhe h) herausgeschnitten werden. Ermitteln Sie den Rechtecksqerschnitt mit maximalem Flacheninhalt A = hb.

Answer 1

h² + b² = (2·r)² --> h = √(4·r² - b²)

A = b·h = b·√(4·r² - b²)

A' = (4·r² - 2·b²)/√(4·r² - b²) = 0 --> b = √2·r

h = √(4·r² - (√2·r)²) = √2·r

Damit ist die Querschnittsfläche ein Quadrat.

Comments

Warum leitet man die Funktion nach b und nicht nach r z.B ab?

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Weil ich mal annehme der Radius des Baumes aus dem ich den Balken säge ist zwar unbekannt aber eine feste Größe. Die Breite und Höhe des Balkens kann ich allerdings variieren und daher sind das meine Variablen.

Variabel ist immer das was verändert werden kann. Die Parameter sind die unbekannten die immer eine feste Größe darstellen.

Answer 2

r = 1
(1+1)² = h² + b²
h² = 4 - b²
h = √ ( 4 - b² )
A = b * h
A = b * √ ( 4 - b² )
A = √ ( 4b² - b⁴ )

√ ( 4b² - b⁴ ) und 4b² - b⁴
haben an derselben Stelle ihr Maximum. Deshalb
A´  = 8b - 4b³ = 0

8b = 4b³
1 = 1/2 b²
b ² = 2
b = √ 2

h² = 4 - b²
h² = 4 - 2
h = √ 2

für r = 1