Matrizen aus M2(R): Wie zeige ich, dass RA x RB = R(A+B)? RA:=((CosA,-SinA),(SinA,CosA))?

Question

Sei α ∈ R und sei R_α ∈ M2(R) definiert durch

$$ R_α = \begin{pmatrix} \cos(α) & -\sin(α) \\ \sin(α) & \cos(α) \end{pmatrix} $$

1. Zeigen Sie, dass R_αR_β = R_α+β

2. Zeigen Sie,dass R_α invertierbar ist.Geben Sie R_α⁻¹ an.

Leider häufen sich die Lücken bei mir, denn hier weiß ich nicht weiter. Ich wollte erst R_a an sich ausrechnen, habe aber keine Idee wie ich von da auf R_b komme.

Comments

Erst mal ein Anfang:

R_α = 
cos α − sin α 
sin α    cos α 

ist eine Definition. Da kannst du problemlos. Beta für Alpha einsetzen; auch ein Term wie (Alpha + Beta) ist erlaubt.

Rβ = 

cos β − sin β 
sin β    cos β

R_α+β = 
cos (α+β)        − sin (α+β) 

sin (α+β)            cos (α+β)

  

Nun musst du die beiden ersten Matrizen formal miteinander multiplizieren und schauen, was rauskommt.

Dann erinnerst du dich ev. an die sog. Additionstheoreme, d.h. Formeln für sin (α+β) etc.  

Answer 1

Wenn du die Matrizen miteinander multiplizierst hast du da eine menge an sinus und cosinus stehen. Dabei gilt:

sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+cos(alpha)*sin(beta) UND

cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(alpha)*sin(beta)

und wenn du dir das anschaust dann steht die lösung eigentlich schon genau da - also multipliziere mal die beiden matrizen miteinander ;)

 

 beim aufgabenteil 2 könnte ich allerdings auch noch hilfe gebrauchen!

Comments

Versuche      (1   0               , also die Einheitsmatrix durch sin und cos auszudrücken. Einfach in Unter
                        0  1)

lagen von Ana schauen. Da steht cos(0) = 1    sin(0) = 0 Dort steht auch ein Additionstheorem womit du das alles ausdrücken kannst.

Als Lösung müsstest du dann  cos -a    -sin -a

                                                         sin -a     cos -a                     a ist selbstverständlich Alpha!

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Ich glaube man soll zeigen, dass es für jedes alpha eine Inversematrix gibt. Nur so als Tipp multipliziere mit der Transponierten Matrix.

 

Ich hoffe das hilft dir.

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Aufgabenteil 2 wäre auch suiper, wenn die jemand eventuell lösen und aufschreiben könnte!

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Hab die Lösung doch schon hingeschrieben

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Der Kommentar über deiner aufforderung ist die Lösung von Teil 2. Da eine Matrix inventierbar ist wenn ein B existiert, sodass gilt AB= I_M. Einfachmal ausprobieren und sin²(x) + cos²(x) = 1 anwenden. Das sollte dein Problem lösen.