Welche Bedingung muss f erfüllen, damit f^{-1} injektiv ist?

Question

Aufgabe:

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Aufgabe \( 1.2 \quad(1+1+1+1+2=6 \) Punkte)
Es sei \( f: A \rightarrow B \) eine Abbildung. Zu \( f \) definieren wir die Abbildung
\( f^{-1}: 2^{B} \rightarrow 2^{A}, M \mapsto\{a \in A \mid f(a) \in M\} \)
Für jedes \( M \subseteq B \) nennt man \( f^{-1}(M) \) das Urbild von \( M \) (unter \( f \) ).
a) Welche Bedingung muss \( f \) erfüllen, damit \( f^{-1} \) injektiv ist?
b) Welche Bedingung muss \( f \) erfüllen, damit \( f^{-1} \) surjektiv ist?
c) Es sei \( M \subseteq B \). Welche Mengenbeziehung besteht zwischen \( M \) und \( f\left(f^{-1}(M)\right) \) ?
d) Es sei \( M \subseteq A \). Welche Mengenbeziehung besteht zwischen \( M \) und \( f^{-1}(f(M)) \) ?
e) Beweisen Sie Ihre Behauptung in Teilaufgabe c).
Lösung \( 1.2 \)
a) \( f \) muss surjektiv sein.
b) \( f \) muss injektiv sein.
c) \( f\left(f^{-1}(M)\right) \subseteq M . \) Anders ausgedrückt: \( M \supseteq f\left(f^{-1}(M)\right) \)
d) \( M \subseteq f^{-1}(f(M)) \). Anders ausgedrückt: \( f^{-1}(f(M)) \supseteq M \)
e) Es sei \( b \in f\left(f^{-1}(M)\right) \).
- Dann gibt es ein \( a \in f^{-1}(M) \) mit \( f(a)=b \).
- \( a \in f^{-1}(M) \) bedeutet gerade \( f(a) \in M \).
- Wegen \( b=f(a) \), folgt \( b \in M \).

Problem/Ansatz:

Leider verstehe ich die Teilaufgaben c,d nicht und die Lösung hilft mir nicht weiter.

Answer 1

Zur Teilaufgabe c):

Betrachte erstmal das Urbild von M. Das sind alle Elemente aus dem Definitionsbereich von f die auf ein Element aus M abgebildet werden. Wendet man auf diese Elemente f an, so bekommt man eine Teilmenge von M heraus. (Es könnte sein, dass ein Element aus M nicht getroffen wird, da f nicht auf alle Elemente aus B bzw. M abbilden muss.) Falls f surjektiv ist, so gilt Gleichheit.

Zur Teilaufgabe d):

M ist nun eine Teilmenge von A. Wir betrachten die Bildpunkte von A unter der Abbildung f und nennen diese Menge f(M). Nun betrachten wir das Urbild von f(M). Natürlich müssen die Elemente aus M im Urbild liegen, da diese ja auf f(M) abgebildet werden. Daher gilt die Inklusion. Es könnte aber sein, dass andere Elemente aus A auch auf Elemente aus f(M) abgebildet werden. Diese kommen dann bei der Betrachtung des Urbildes noch dazu. Gleichheit würde gelten wenn f Injektiv ist.

Das ist vielleicht ein bisschen kompliziert, aber vielleicht hilft dir die Grafik s.u.

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