Hallo,
für a) ist nach Definition zu zeigen, dass \(\sigma\) eine Bijektion ist. Dazu sein \(m \in \mathbb{N}\), wir prüfen, wieviele j es gibt mit \(\sigma(j)=m\):
Falls m ungerade ist, also m=2k-1, dann ist eindeutig j=3k-2
Falls m gerade ist und außerdem durch 4 teilbar ist, also m=4k, dann ist eindeutig j=3k.
Falls m gerade ist und nicht durch 4 teilbar ist, also m=2(2k-1)=4k-2, dann ist eindeutig j=3k-1.
Also gibt es für jedes \(m \in \mathbb{N}\) eindeutig ein Urbild j unter \(\sigma\).
Bemerkung: Die Umordnung der Reihe besteht darin, immer ein Element mit ungeradem Indes zu addieren und dann 2 mit geradem Index ...
b) lässt sich durch direktes Nachrechnen erledigen.
Zu c): Es gilt:
$$\sum_{j=1}^{\infty}a_j=\sum_{k=1}^{\infty}(a_{2k-1}+a_{2k}) $$
Denn in einer konvergenten Reihe kann man beliebig Klammern setzen. Wegen b) folgt nun
$$\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}(a_{2k-1}+a_{2k}) =\sum_{k=1}^{\infty}(b_{3k-2}+b_{3k-1}+b_{3k})=\sum_{j=1}^{\infty}b_j$$
Für die letzte Gleichung werden in einer konvergenten Reihe Klammern weggelassen; das ist erlaubt, weil \(b_j \to 0\).
Gruß Mathhilf