Mischung aus Untervektorräumen wieder Untervektorräume?

Question

Aufgabe:

Es seien \( V \) ein reeller Vektorraum und \( W_{1}, W_{2} \subset V \) zwei Untervektorräume. Zeigen Sie: \( W_{1} \cap W_{2} \) ist ebenfalls ein Untervektorraum von \( V \). Was ist mit \( W_{1} \cup W_{2} \) ?

Problem/Ansatz:

Es gibt ja drei Eigenschaften von Untervektorräumen.

1. Sie müssen den Nullvektor enthalten

2. Abgeschlossen bezüglich der Addition sein

3. Abgeschlossen bezüglich der Multiplikation sein

Da habe ich mir gedacht, dass in der Schnittmenge zwar der Nullvektor drin ist, jedoch nicht alle Elemente von W1 bzw. W2. Dadurch ist die Abgeschlossenheit nicht gegeben.

Bei der Vereinigungsmenge mache ich mir da keine Sorgen, weil ja alle Elemente drin sind.

Sind meine Überlegungen richtig? Und wie formuliere ich das mathematisch korrekt?

Mit freundlichen Grüßen Simplex

Comments

Kannst du "Mischung" noch mathematischer (aber z.B. in Worten) ausdrücken oder sonst wie erklären?

Answer 1

Da habe ich mir gedacht, dass in der Schnittmenge zwar der Nullvektor drin ist,  ✓

jedoch nicht alle Elemente von W1 bzw. W2. Dadurch ist die Abgeschlossenheit nicht gegeben.

Nein: Wenn zwei Elemente in der Schnittmenge ist, da sind sie  in beiden,

also in W1 und in W2. Da beide abgeschlossen sind, ist auch die Summe in beiden.

Bei Abg. bezügl. Multiplikation entsprechend.

W1 ∩ W2 ist also auch ein Unterraum.

Bei der Vereinigungsmenge mache ich mir da keine Sorgen, weil ja alle Elemente drin sind.

Da sind allerdings Sorgen angebracht. Nimm etwa mal die beiden Unterräume von R^2

{ (x,0)  | x∈ℝ }  und  { (0,x)  | x∈ℝ }

(1,0) und (0,1) sind in der Vereinigungsmenge, ihre Summe (1,1) aber nicht !

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Vielen Dank für die Hilfe!