Ableitung und Definitionsbereich einer Funktion

Question

Aufgabe:

Bilden Sie die erste Ableitung und geben sie den größtmöglichen Definitionsbereich an der Funktion an

f(x) = \( \sqrt{5x-2} \)

Problem/Ansatz:

Ich wandle das zuerst in die Summenformel (5x-2)^0.5 jedoch weiß ich nicht wie ich davon die erste Ableitung bilden kann.

Answer 1

Aloha :)

Das geht am einfachsten mit der Kettenregel:$$f'(x)=\left(\,\sqrt{5x-2}\,\right)'=\left(\,\left(5x-2\right)^{\frac12}\,\right)'=\underbrace{\frac12(5x-2)^{-\frac12}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{5}_{\text{innere Abl.}}=\frac{5}{2\sqrt{5x-2}}$$Da der Wert unterhalb der Wurzelfunktion \(\ge0\) sein muss, lautet die Forderung:$$5x-2\ge0\implies5x\ge2\implies x\ge\frac25$$Der Definitionsbereich der Funktion selbst ist also \(D_f=\mathbb R^{\ge\frac25}\). Bei der Ableitung steht die Wurzel im Nenner, daher müssen wir ausschließen, dass sie zu Null werden kann. Daher ist der Definitionsbereich der Ableitung \(D_{f'}=\mathbb R^{>\frac25}\).

Answer 2

Kettenregel: Ist

        f(x) = g(h(x))

differenzierbar, dann ist

        f'(x) = g'(h(x))·h'(x).

In deiner Aufgabe ist h(x) = 5x-2 und g(h) = h^0,5.

Answer 3

Du kannst auch die Potenzregel verwenden:

die lautet : n*u(x)^(n-1)*u'(x)

mit n=0,5 u(x)=5x-2 und u'(x)=5

dann hättest du:

(1/2)*(5x-2)^(1/2-1)*5

= 5/2*(5x-2)^(-1/2)

=5/(2*(5x-2)^1/2)

=5/(2*(Wurzel von (5x-2))