Aufgabe zu Zahlbereich H?

Question

Aufgabe:

Hallo zusammen, ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:

Betrachtet wird der Zahlbereich $\mathbb{H}$ der „Halbierungen ", der aus allen vollständig gekürzten Brüchen besteht und deren Nenner eine Zweierpotenz ist, also
$\mathbb{H}:=\left\{\frac{a}{2^{n}} \in \mathbb{Q} \mid a \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}_{0}, \operatorname{gg} \mathrm{T}\left(a, 2^{n}\right)=1\right\} .$
a) Zeigen Sie: $0 \in \mathbb{H}, 1 \in \mathbb{H}$ und für $\frac{a}{2^{n}}, \frac{b}{2^{m}} \in \mathbb{H}$ sind sowohl die Summe/Differenz $\frac{a}{2^{n}} \pm \frac{b}{2^{m}} \in \mathbb{H}$ als auch das Produkt $\frac{a}{2^{n}} \cdot \frac{b}{2^{m}} \in \mathbb{H} .$

b) Untersuchen Sie, welche Divisionen in $\mathbb{H}$ möglich sind.

Ich wäre wirklich dankbar wenn mir da jemand helfen könnte.

Comments

mir da jemand helfen könnte.

Helfen wobei?

Dass sich 0 so darstellen lässt?

Dass sich 1 so darstellen lässt?

Ich habe keine Lust Sachen zu machen, die du selbst kannst.

Werde bitte konkret:

Welche Teilaufgaben kannst du (mit Ergebnissen)?

Wo klemmt es noch?

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Die Sache wird einfacher, wenn man sich

$\mathbb{H}=\{\frac{a}{2^n}:\; a\in\mathbb{Z}, n\in \mathbb{N}_0\}$

überlegt hat. Ansonsten geht es mir wie abakus.

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Ich weiß leider bei der gesamten Aufgabe nicht, wie ich da vorgehen muss. Daher wäre es super, wenn Sie mir da eventuell Ansätze oder Tipps zum Vorgehen geben könnten.

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Kannst du 0 schreiben als $\frac{a}{2^n}$ mit geeigneten a und n ?

Answer 1

Ich weiß leider bei der gesamten Aufgabe nicht, wie ich da vorgehen muss.

Ich übersetze das mal ins Deutsche:

"Ich kenne keine ganze Zahl a, für die ein Bruch der Form $\frac{a}{2^n}$ den Wert 0 annimmt".

Habe ich das richtig interpretiert?

Und du siehst auch keine Möglichkeit, zwei Zahlen a und n zu finden, sodass $\frac{a}{2^n} =1$ gilt?