Gesucht ist die Gleichung einer achsensymmetrischen Parabel, die die x-Achse an der Stelle...

Question

Hallo liebe Community :)

Ich hänge an einer eigentlich sehr simplen Aufgabe :(    Gesucht ist die Gleichung einer achsensymmetrischen Parabel, die die x-Achse an der Stelle −5 mit der Steigung −2 schneidet.
Ich habe auch keinen wirklichen Ansatz, außer die Standard Parabel Formel. f(x)= ax^2+bx+c , aber weiter komme ich nicht.

Wäre nett wenn einer ein Ansatz oder ein Tipp geben könnte :)

Mfg Maksimo

Answer 1

Hi Maksimo,

"Achsensymmetrisch" besagt schon, dass wir uns nur auf y = ax^2+c konzentrieren müssen.

Zwei Gleichungen braucht es also.

f(-5) = 0    (Schnittpunkt mit der x-Achse)

f(-5) = -2   (Die dortige Steigung)

 

Daraus ergibt sich:

25a + c = 0
-10a = -2

Aus letzterer Gleichung folgt a = 1/5 und damit in die erste: c = -5

Die gesuchte Parbel:

f(x) = 1/5*x^2-5

Grüße

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort, nur verstehe ich nicht ganz den Schritt wie man auf 25a+c=0 kommt.

Grüße Maksimo

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Du hast doch y = ax^2+c und die Bedingung f(-5) = 0

Setze nun x = -5 ein: 0 = a*(-5)^2+c = 25a+c

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Achso, jetzt habe ich es verstanden :) Danke vielmals

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Ich hätte da noch eine letzte Frage... Wie funktioniert das mit einer ganzrationalen Funktion dritten Grades?  Also zum Beispiel so eine Aufgabe.
Gesucht ist die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft und in T(−2|−4) einen Tiefpunkt hat.

Ist der Ansatz der selbe wie bei der vorherigen Aufgabe?

Grüße Maksimo

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Nein der Ansatz muss natürlich angepasst werden.

y = ax^3+bx^2+cx+d

Punktsymmetrie zum Ursprung macht daraus direkt:

y = ax^3+cx

willst Du es von da an mal selbst probieren? ;)

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ja bis dahin bin ich auch schon gekommen ^^ Ich habe in die erste Gleichung den Tiefpunkt eingesetzt. Das ergibt also  -4=-8a-2c.  also habe ich dan 2 Unbekannte in einer Gleichung. Meine Überlegung wäre nach a aufzulösen und dan durch die erste Ableitung c rauszukriegen :) ? Macht das ein Sinn

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Hört sich soweit gut an. Mach weiter ;).

Answer 2

Gesucht ist die Gleichung einer achsensymmetrischen Parabel, die die x-Achse an der Stelle \(x=−5\) mit der Steigung \(m=−2\) schneidet.

Achsensymmetrie bedeutet, dass der Graph die x-Achse auch bei \(x=5\) schneidet:

\(f(x)=a(x+5)(x-5)=a(x^2-25)\)

Steigung bei  \(x=−5\)  ist  \(m=−2\)

\(f'(x)=2ax\)

\(f'(-5)=2a\cdot(-5)=-10a\)

\(-10a=-2\)         \(a=\frac{1}{5}\)

\(f(x)=\frac{1}{5}(x^2-25)\)