Lässt sich das Problem auf den Spezialfall C = In bzw A = Im reduzieren?

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper, und seien m, n ∈ N. Beweisen Sie die folgenden Rechenregel.

a) Für A ∈ K^m×n und B ∈ K^m×n und C ∈ K^n×n gilt

Text erkannt:

\( \operatorname{det}\left[\begin{array}{cc}A & B \\ 0_{n \times m} & C\end{array}\right]=\operatorname{det} A \cdot \operatorname{det} C \)

Verwenden Sie dabei nicht die Rechenregel det M^T = det M.

Hinweis: Wenn eine Spalte nur einen von null verschiedenen Eintrag enthält, lässt sich prima nach dieser Spalte entwickeln. Lässt sich das Problem auf den Spezialfall C = I_n bzw. A = I_m reduzieren?

Problem/Ansatz:

Ich habe wirklich kein Plan, wie man diese Aufgabe lösen kann. Ich bitte euch um eure Hilfe!

Comments

Bitte lass mich nicht im Stich :'-(

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Ich werde eure Hilfe nie vergessen. Bitte bitte.

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Hallo

mach das mal mit ner 4 mal 4 Matrix, kannst du mit Umformungen A durch die Einheitsmatrix  und Faktoren ersetzen?  Geht das auch für A nicht 2 mal 2 sondern m mal m

Bei sowas findet man oft Ideen, indem man mal mt kleinen n anfängt.

lul

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Verbessere mal die Indizes! A und C müssen quadratisch sein.

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Ich komme meider nicht weiter. Kann jemand vielleicht etwas zeige. Ich setze 5 stunden bei dieser Aufgabe aber ich kann es nicht lösen.

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Ich komme meider nicht weiter. Kann jemand vielleicht etwas zeige. Ich setze 5 stunden bei dieser Aufgabe aber ich kann es nicht lösen.

Bitte Texte vor dem Absenden durchlesen und korrigieren.

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Omg! R u kidding me?

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\( \left[\begin{array}{cc}A & B \\ 0 & C\end{array}\right] \)  =  \( \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & C\end{array}\right] \)*\( \left[\begin{array}{cc}A & B \\ 0 & 1\end{array}\right] \)

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Soll ich zuerst das erste mal zweite machen und dann die determinante?

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Bitte HILFE!!!!

Answer 1

Es gibt 2 Lösungsmöglichkeiten:

1. Du nimmst das Matrizenprodukt von hj2166:

Multipliziere die rechten Matrizen aus und du erhältst die linke.

Dann rechnest von jeder Matrix auf de rechten Seite die Det aus:

 \( \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & C\end{array}\right] \) 

= 1*Restmatrix + 0*... +0*...       (Entwicklung nach der 1. Spalte)

= 1* kleinere Restmatrix + 0*... +0*         (Entwicklung nach der neuen 1. Spalte)

= det C

Dann genauso:

\( \left[\begin{array}{cc}A & B \\ 0 & 1\end{array}\right] \) = det A

Dann den Satz: det(A*B) = det(A)*det(B)

oder 2. Bew:

Du gehst auf die Permutationsdefinition der Det zurück und sortierst die Indizes geschickt.

Das geht so:

https://www.youtube.com/watch?v=-Hm0vxNV4Ik

Comments

Thank u so much

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Verbessere noch die Indizes in der Aufgabe! A und C müssen quadratisch sein.