Beweis Binom von Newton und Eigenschaften des Binomialkoeffizienten

Question

Aufgabe:

Beweise: ∀ n ∈ N:

\( \frac{\begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} n\\0 \end{pmatrix}} \) + 2*\( \frac{\begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix}} \) + 3*\( \frac{\begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix}} \) + ... + n*\( \frac{\begin{pmatrix} n\\n \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} n\\n-1 \end{pmatrix}} \) = \( \frac{n*(n+1)}{2} \)

Comments

Rechne einfach die Brüche aus den Binomialkoeffizienten aus.

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Ich habe es mit \( \frac{∑(p=1; n) p*\begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix}}{∑(p=0; n) \begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix}} \) versucht, aber dann komme ich nur an \( \frac{n}{2} \). Vielleicht ist mein Ansatz auch völlig Quatsch.

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Vielleicht ist mein Ansatz auch völlig Quatsch.

Bevor Du an der Aufgabe (evtl mit meinem Hinweis) weiterarbeitest, solltest Du Dir klar werden, ob diese Bewertung auf Deinen Ansatz zutriff.

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Ok, Sinn macht es nicht.

Rechne einfach die Brüche aus den Binomialkoeffizienten aus.

Meinst du so?

∑(p=1;n) p*\( \frac{\begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} n\\p-1 \end{pmatrix}} \)

Soll ich das ausrechnen?

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Erst mal nur einen Summand, den Bruch aus den 2 Binomialkoeffizienten

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berechne erstmal die 3 ersten Brüche, vielleicht klingelte dann!

oder betrachte das Ergebnis, kommt dir das bekannt vor?

lul

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n + (n - 1) + (n - 2) + … + 1

Summenformel Sn = n*(n+1)/2

Aber ich habe vergessen wie ich Beweise, dass n + (n - 1) + (n - 2) + … + 1 = n*(n+1)/2

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Hallo

ohne Induktion, 2 mal die Reihe untereinander schreiben, in umgekehrter Reihenfolge, dann addieren  ergibt 2 mal die Summe.

1      2       3       4 ..........n

n    n-1   n-2     n-3..........1

+__________________

(n+1)+( n+1)+ (n+1).....+(n+1)= n*(n+1)

Gruß lul

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Vielen lieben Dank!

Answer 1

Zu deinem letzten Kommentar:

Einfach mit vollst. Induktion.

n=1 ist wohl klar.

Wenn es für n gilt, also n + (n - 1) + (n - 2) + … + 1 = n*(n+1)/2

Dann hast du für n+1

(n+1) + n + (n - 1) + (n - 2) + … + 1  wegen Ind. annahme:

= (n+1) +   n*(n+1)/2

=(2n+2)/2 +  (n^2 + n )/2

= (2n+2+n^2+n)/2

= (n^2+3n+2)/2

= (n+2)(n+1)/2    q.e.d.