Funktionsuntersuchung kubische Funktion

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Funktion f auf Schnittpunkte mit den Achsen, Hoch- und Tiefpunkte. Geben Sie die Monotonieintervalle an. Zeichnen Sie den Graphen.

a) f (x) = - x³ + 6 x²

Problem/Ansatz:

Ich habe vier solche Aufgaben, bei denen ich dies durchführen soll. Mein Problem ist, dass ich leider gar nichts verstehe. Früher konnte ich mir alles in Mathe mit Hilfe von den Videos von Lehrerschmidt selber beibringen, aber jetzt bin ich leider total raus. Ich würde mich daher sehr über Hilfe freuen, damit ich versuchen kann diese Art von Aufgaben nachzuvollziehen und es bei den anderen auch weiter versuchen kann. Ich bin auch dankbar, dass es solche Plattformen gibt, da ich sonst nicht wüsste, was ich machen sollte. Darüber wäre ich unendlich dankbar.

Viele Grüße

Answer 1

Hallo,

bilde die ersten beiden Ableitungen der Funktion:

$f(x)=-x^{3}+6 x^{2}$
$f^{\prime}(x)=-3 x^{2}+12 x$
$f^{\prime \prime}(x)=-6 x+12$

Zur Berechnung der Nullstellen = Schnittpunkte mit der x-Achse setze f(x) = 0 und löse nach x auf.

$f(x)=0$
$-x^{3}+6 x^{2}=0$
$x^{2} \cdot(-x+6)=0$
$x=0 \quad \vee -x+6=0 \Rightarrow x=6$

Also hat die Funktion eine doppelte Nullstelle bei x = 0 und eine weitere bei x = 6.

Schnittpunkt mit der y-Achse: Berechne f(0)

$f(0)=-0^3+6\cdot 0^2=0$

Die Funktion schneidet die y-Achse an der Stelle x = 0.

Extrempunkte

Setze die 1. Ableitung = 0 und löse nach x auf:

$-3x^2+12x=0\\ x\cdot(-3x+12)=0 \\ x = 0\qquad \vee \qquad -3x+12=0\Rightarrow x=4$

Um festzustellen, ob es sich einen Hoch- bzw. Tiefpunkt handelt, setze die Ergebnisse in die 2. Ableitung ein.

$f''(0)=-6\cdot 0+12=12\\ 12>0\Rightarrow \text{Tiefpunkt}\\ f''(4)=-12\\ -12<0\Rightarrow \text{Hochpunkt}$

Jetzt brauchst du noch die y-Koordinaten der Extrempunkte, setze dafür deine Ergebnisse in f(x) ein.

Für das Monotonieverhalten gilt

$f^{\prime}(x)<0$ im Intervall I $\Rightarrow$ Der Graph von $f$ fällt streng monoton in $I$.
$f^{\prime}(x)>0$ im Intervall I $\Rightarrow$ Der Graph von $f$ steigt streng monoton in $I$.

Links vom Tiefpunkt ist die Funktion streng monoton fallend, steigend zwischen Tiefpunkt und Hochpunkt, danach wieder fallend.

Gruß, Silvia

Comments

Hallo,

vielen Dank für Ihre Hilfe und Mühe! Jetzt kann ich es nachvollziehen und verstehen

Answer 2

Probier mal die Seite

https://matheguru.com/rechner/kurvendiskussion

Die liefert dir eine Kurvendiskussion.

Wenn du da etwas nicht verstehst dann frag hier nochmals nach. Bei youtube findest du auch etliche Beispiele zu y-Achsenabschnitt, Nullstellen, Extrempunkt und Wendepunkte wnen du suchst.

Zweckmäßig ist es bei einer Kurvendiskussion zuerst mind. 2 Ableitungen der Funktion zu bilden. Damit solltest du also anfangen.

Answer 3

Untersuchen Sie die Funktion f auf Schnittpunkte mit den Achsen, Hoch- und Tiefpunkte. Geben Sie die Monotonieintervalle an. Zeichnen Sie den Graphen.

a) f (x) = - x³ + 6 x²

^{Schnittpunkte mit den Achsen:}

Schnitt mit der x-Achse:  f(x)=0

^{- $x^{3}$ + 6 $x^{2}$=0}

$x^{2}$*(-x+6)=0

^{1.) $x^{2}$=0   ist eine doppelte Nullstelle Maximum oder Minimum}

^{2:)-x+6=0       x=6  ist eine einfache Nullstelle}

Schnitt mit der y-Achse:

^{f (0) = - $0^{3}$ + 6* $0^{2}$=0}

Bestimmung der Extremwerte:  f´(x)=0

f´(x)=-3$x^{2}$+12x

-3$x^{2}$+12x=0

x*(-3x+12)=0

1.) x=0    f (0)=0

2.)  -3x+12   =0         x=4    f (4) = - (4)³ + 6 *(4)² = 32

Art des Extremwertes (Maximum oder Minimum)

f´´(x)=-6x+12

1.)f´´(0)=-6*0+12=12   ist größer als 0  : Minimum

2.)f´´(4)=-6*4+12=-12  ist kleiner als 0  : Maximum

Wendepunkt:  f´´(x)=0

-6x+12=0
x=2     f (2) = - (2)³ + 6* (2)²=-8+24=16