Zeigen Sie: det(f ) = (−1)n+1a0.

Question

Aufgabe:

Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über K, n = dim V und f ∈ End(V ). Für
ein v ∈ V sei {v, f (v), . . . , f n−1(v)} eine Basis von V . Es gibt also a1, . . . , an−1 ∈ K,
sodass
f n(v) = an−1f n−1(v) + . . . + a1f (v) + a0v.
Zeigen Sie: det(f ) = (−1)n+1a0.

Problem/Ansatz:

Determinante der Abbildungsmatrix, aber komme nicht auf sie

Comments

steht seit zwei Tagen unter "ähnliche Fragen"

Answer 1

Mache dir klar, dass die Matrix so aussieht und entwickle nach der ersten Zeile:

\( \begin{pmatrix}  0  & 0 & \dots &0&a_0 \\  1 & 0 & \dots &0&a_1 \\   0 & 1 & \dots &0&a_2 \\  \dots & \dots &  \dots  \\  0 & 0 & \dots &1 &a_{n-1} \\  \end{pmatrix}  \)