Vollständige Induktion | rekursiv definierte Folge

Question

Ich habe eine Rekursiv definierte Folge:

a1 = 0,  a_n+1 = 1/2a_n +1/2 ,  n ∈ ℕ

Ich soll nun zeigen, dass an durch 1 nach oben beschränkt ist mithilfe von vollständiger Induktion.

Mein ansatz:

IA: n = 1 : a1 = 0 ≤ 1 ≤ 1

IV: an ≤ 1 für ein n ∈ ℕ

IS: an+1 = 1/2 an + 1/2

  ≤ 1/2 * 1 + 1/2 = 1

Und somit gezeigt dass es nach oben beschränkt ist mit 1, ist das so korrekt?

Answer 1

Vielleicht etwa ausführlicher:

IS: a_n+1 = 1/2 a_n + 1/2   und a_n ≤ 1

==>  a_n+1  ≤ 1/2 * 1 + 1/2 = 1

  

Comments

Okay alles klar, Dankesehr!

Answer 2

Aloha :)

Vielleicht etwas übersichtlicher so:$$a_0=0<1\quad\checkmark$$$$a_n<1\implies\frac12a_n<\frac12\implies\frac12a_n+\frac12<\frac12+\frac12\implies a_{n+1}<1\quad\checkmark$$

Comments

Das ist jetzt beides für IA, richtig?

---

Die erste Zeile ist die Verankerung bei \(n=0\).

Die zweite Zeile ist ausgehend von der Gültigkeit für \(n\) der Induktionsschritt auf die Gültigkeit von für \((n+1)\).