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Aufgabe:

Sei P=X6-25, L der Zerfällungskörper von P über Q.0

1) Zu zeigen: L=Q(53 \sqrt[3]{5} , a) für eine 3-te primitive Einheitswurzel a.

2) Bestimmen Sie [L:Q] und die Ordnung von Gal(L/Q).

3)Ist Gal(L/Q) abelsch?

4)Ist Gal (L/Q) auflösbar?


zu 1) X6-25 = (X3 -5 \sqrt{5} ) (X- 5 \sqrt{5} )

            =(X-53 \sqrt[3]{5} ) (X-a53 \sqrt[3]{5} ) (X-a253 \sqrt[3]{5} ) (X+53 \sqrt[3]{5} )(X+a53 \sqrt[3]{5} )(X+a253 \sqrt[3]{5} )

          und deshalb zerfällt P über L in Linearfaktoren und L ist Zerfällungskörper

zu 2) Es ist L normal und sparabel über Q, da L Zerfällungskörper ist → L/Q ist galoisch und daher [L:Q] =  BetragGal(L/Q). Dann würde ich Das Minimalpolynom berechnen, (was ja nicht X6 -25 ist, da dieses Polynom nicht irreduizibel ist?) und somit den Grad berechnen.


Passt das bis jetzt so?

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Soweit so gut.
Den Grad [L:Q] würde ich nicht über das Minimalpolynom
eines primitiven Elementes bestimmen, da du ja dazu erst
einmal ein solches brauchst. Du kannst stattdessen
eine Basis von L über Q explizit angeben oder nutze
[L : Q]=[L : Q(53)][Q(53) : Q][L:Q]=[L:Q(\sqrt[3]{5})]\cdot [Q(\sqrt[3]{5}):Q].

Ok danke, ich habe jetzt [Q53 \sqrt[3]{5} : Q]=3, da X3 - 5 das Minimalpolynom über Q ist, somit folgt dies über den Grad des Minimalpolynoms. Also ist [L:Q] durch 3 teilbar.

Desweiteren ist [Q(a):Q]=f(3)=2, woebei f die Frobeniushomomorphismus ist nach Vorlesung.

Damit folgt, [L:Q] ist teilbar durch 3 und somit teilbar durch 6. Da [L:Q(53 \sqrt[3]{5} )]<=2 folgt

[L:Q]= [L:Q(53 \sqrt[3]{5} )] [Q(53 \sqrt[3]{5} ) : Q] <= 2*3=6.

Somit folgt [L:Q]=6.

Passt das so?


Und wie zeige ich jetzt ob Gal(L/Q) abelsch ist und auflösbar?

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1 Antwort

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Beste Antwort

Die Galoisgruppe hat die Ordnung 6, ist also isomorph zu S3S_3

oder Z2×Z3Z_2\times Z_3.

Sei β=53\beta=\sqrt[3]{5} und ω=a\omega=a, so wie man die dritte

Einheitswurzel in der Literatur normalerweise bezeichnet.

Wegen P=(X3+5)(X35)P=(X^3+5)(X^3-5) und wegen (x)3=x3(-x)^3=-x^3 ist

der Zerfällungskörper von PP derselbe wie der von Q=X35Q=X^3-5,

wie du ja auch bereits dargestellt hast.

Nun ist X35=(Xβ)(Xβω)(Xβω2)X^3-5=(X-\beta)(X-\beta\omega)(X-\beta\omega^2).

Wir betrachten zwei Permutationen der Nullstellen von QQ:

σ(β)=βω,σ(ω)=ω\sigma(\beta)=\beta \omega, \quad \sigma(\omega)=\omega und

τ(β)=β,τ(ω)=ω2\tau(\beta)=\beta, \quad \tau(\omega)=\omega^2.

Nennen wir die Nullstellen von QQ etwa x1,x2,x3x_1,x_2,x_3,

so entspricht σ\sigma der Permutation (1  2  3)(1\;2\;3) und

τ\tau der Permutation (2  3)(2\; 3). Diese beiden Permutationen

sind nicht vertauschbar und erzeugen die ganze S3S_3.

{e}A3S3\{e\}\leq A_3\leq S_3 ist eine Subnormalreihe mit

Faktoren von Primzahlordnung 3,2, also ist die Gruppe

auflösbar.

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