Die Galoisgruppe hat die Ordnung 6, ist also isomorph zu S3
oder Z2×Z3.
Sei β=35 und ω=a, so wie man die dritte
Einheitswurzel in der Literatur normalerweise bezeichnet.
Wegen P=(X3+5)(X3−5) und wegen (−x)3=−x3 ist
der Zerfällungskörper von P derselbe wie der von Q=X3−5,
wie du ja auch bereits dargestellt hast.
Nun ist X3−5=(X−β)(X−βω)(X−βω2).
Wir betrachten zwei Permutationen der Nullstellen von Q:
σ(β)=βω,σ(ω)=ω und
τ(β)=β,τ(ω)=ω2.
Nennen wir die Nullstellen von Q etwa x1,x2,x3,
so entspricht σ der Permutation (123) und
τ der Permutation (23). Diese beiden Permutationen
sind nicht vertauschbar und erzeugen die ganze S3.
{e}≤A3≤S3 ist eine Subnormalreihe mit
Faktoren von Primzahlordnung 3,2, also ist die Gruppe
auflösbar.