Bestimmen Sie [L:Q] und die Ordnung von Gal(L/Q).

Question

Aufgabe:

Sei P=X⁶-25, L der Zerfällungskörper von P über Q.0

1) Zu zeigen: L=Q(\( \sqrt[3]{5} \) , a) für eine 3-te primitive Einheitswurzel a.

2) Bestimmen Sie [L:Q] und die Ordnung von Gal(L/Q).

3)Ist Gal(L/Q) abelsch?

4)Ist Gal (L/Q) auflösbar?

zu 1) X⁶-25 = (X³ -\( \sqrt{5} \)) (X³  - \( \sqrt{5} \))

            =(X-\( \sqrt[3]{5} \)) (X-a\( \sqrt[3]{5} \)) (X-a²\( \sqrt[3]{5} \)) (X+\( \sqrt[3]{5} \))(X+a\( \sqrt[3]{5} \))(X+a²\( \sqrt[3]{5} \))

          und deshalb zerfällt P über L in Linearfaktoren und L ist Zerfällungskörper

zu 2) Es ist L normal und sparabel über Q, da L Zerfällungskörper ist → L/Q ist galoisch und daher [L:Q] =  BetragGal(L/Q). Dann würde ich Das Minimalpolynom berechnen, (was ja nicht X⁶ -25 ist, da dieses Polynom nicht irreduizibel ist?) und somit den Grad berechnen.

Passt das bis jetzt so?

Comments

Soweit so gut.
Den Grad [L:Q] würde ich nicht über das Minimalpolynom
eines primitiven Elementes bestimmen, da du ja dazu erst
einmal ein solches brauchst. Du kannst stattdessen
eine Basis von L über Q explizit angeben oder nutze
\([L:Q]=[L:Q(\sqrt[3]{5})]\cdot [Q(\sqrt[3]{5}):Q]\).

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Ok danke, ich habe jetzt [Q\( \sqrt[3]{5} \) : Q]=3, da X³ - 5 das Minimalpolynom über Q ist, somit folgt dies über den Grad des Minimalpolynoms. Also ist [L:Q] durch 3 teilbar.

Desweiteren ist [Q(a):Q]=f(3)=2, woebei f die Frobeniushomomorphismus ist nach Vorlesung.

Damit folgt, [L:Q] ist teilbar durch 3 und somit teilbar durch 6. Da [L:Q(\( \sqrt[3]{5} \))]<=2 folgt

[L:Q]= [L:Q(\( \sqrt[3]{5} \))] [Q(\( \sqrt[3]{5} \)) : Q] <= 2*3=6.

Somit folgt [L:Q]=6.

Passt das so?

Und wie zeige ich jetzt ob Gal(L/Q) abelsch ist und auflösbar?

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Answer 1

Die Galoisgruppe hat die Ordnung 6, ist also isomorph zu \(S_3\)

oder \(Z_2\times Z_3\).

Sei \(\beta=\sqrt[3]{5}\) und \(\omega=a\), so wie man die dritte

Einheitswurzel in der Literatur normalerweise bezeichnet.

Wegen \(P=(X^3+5)(X^3-5)\) und wegen \((-x)^3=-x^3\) ist

der Zerfällungskörper von \(P\) derselbe wie der von \(Q=X^3-5\),

wie du ja auch bereits dargestellt hast.

Nun ist \(X^3-5=(X-\beta)(X-\beta\omega)(X-\beta\omega^2)\).

Wir betrachten zwei Permutationen der Nullstellen von \(Q\):

\(\sigma(\beta)=\beta \omega, \quad \sigma(\omega)=\omega\) und

\(\tau(\beta)=\beta, \quad \tau(\omega)=\omega^2\).

Nennen wir die Nullstellen von \(Q\) etwa \(x_1,x_2,x_3\),

so entspricht \(\sigma\) der Permutation \((1\;2\;3)\) und

\(\tau\) der Permutation \((2\; 3)\). Diese beiden Permutationen

sind nicht vertauschbar und erzeugen die ganze \(S_3\).

\(\{e\}\leq A_3\leq S_3\) ist eine Subnormalreihe mit

Faktoren von Primzahlordnung 3,2, also ist die Gruppe

auflösbar.