Aloha :)
zu a) Für \(x>1\) gilt wegen der Monotonie der Logarithmusfunktion und wegen \(\ln(x+1)>0\):
$$\ln(x-1)<\ln(x+1)\implies\frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)}<1$$$$\implies-\frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)}>-1\implies\ln(x)-\frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)}>\ln(x)-1$$$$\implies\lim\limits_{x\to\infty}\left(\ln(x)-\frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)}\right)>\lim\limits_{x\to\infty}\left(\ln(x)-1\right)=\infty$$
zu b) Für alle \(x\ne0\) gilt für den Zähler:$$-1\le\sin\frac1x\le1\implies \left|\sin\frac1x\right|\le1\implies\left|x\cdot\sin\frac1x\right|\le|x|\implies\lim\limits_{x\to0}\left(x\sin\frac1x\right)=0$$Mit der Regel von L'Hospital gilt weiter:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{\sin x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{\cos x}=1$$
Damit gilt für das Produkt:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac1x}{\sin x}=\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{x}{\sin x}\cdot x\sin\frac1x\right)=\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{x}{\sin x}\right)\cdot\lim\limits_{x\to0}\left(x\sin\frac1x\right)=1\cdot0=0$$
