Ergänze Vektoren mit Einheitsvektoren zu einer Basis

Question

Aufgabe:

Aufgabe 4b)

Gegeben sind zwei Vektoren:

$$\vec{v_{1}}$$ = (1,2,0,-1)

$$\vec{v_{2}}$$ = (-1,1,-1,1)

Aufgabe lautet wie folgt:

Man ergänze die vektoren v1,v2 durch geeignete Einheitsvektoren $$\vec{e_{i}}$$ aus $$\mathbb{R^{4}}$$ zu einer Basis des $$ \mathbb{R^{4}}$$ k,s,t aus $$\mathbb{R}$$.

Problem/Ansatz:

Habe echt nicht so die Ahnung, was die Aufgabe von mir verlangt. Ich weiß, dass wir nun in der 4. Dimension sind, wegen $$ \mathbb{R^{4}}$$. Die Basis von der 4. Dimension verlangt 4 lineare unabhängige Einheitsvektoren, mit der man alle Vektoren im Raum darstellen kann.

Die Basis von $$ \mathbb{R^{4}}$$ ist {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}

Woher weiß ich denn, welches von den 4 Elemente die richtige ist?

Answer 1

Es gibt nur sechs Möglichkeiten, aus der Menge \(\{(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)\}\) zwei Vektoren auszuwählen um sie zur Menge \(\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}\) hinzuzufügen.

Man prüft nacheinander, welche dieser Möglichkeiten die Eigenschaften hat, in der Definition von Basis von einer Basis verlangt werden.

Comments

Was genau prüft man? Ob z.B (1,0,0,0) linear unabhängig ist zu v1 und v2?

---

Was genau prüft man?

Das was in der Definition von Basis steht.

Ob z.B (1,0,0,0) linear unabhängig ist zu v1 und v2?

Das ergibt keinen Sinn.

Lineare Unabhängigkeit ist keine Beziehung zwischen Vektoren.

Lineare Unabhängigkeit ist eine Eigenschaft einer Menge.

Außerdem hast du ja selbst gesagt, dass du vier Vektoren brauchst.

Prüfe also zum Beispiel, ob \(\{(1,0,0,0), (0,1,0,0), \vec{v}_1, \vec{v}2\}\) linear unabhängig ist. Weil lineare Unabhängigkeit eine der Eigenschaften ist, die von einer Basis gefordert werden.

---

Hallo,

danke für dein Kommentar.

Dann habe ich das noch nicht 100%ig verstanden, was mit lineare Unabhängigkeit gemeint ist.

Die Eigenschafft könnte man durch die Determinate prüfen, die muss ungleich 0 sein. Aber ich habe es jetzt so geprüft:

Ich habe es als lineares Gleichungssystem aufgefasst in der Form:

Den Vektor (1,0,0,0) als:

1.) x+0y+0z+0a = 0

Den Vektor (0,1,0,0) als:

2.) 0x+y+0z+0a = 0

Den Vektor (1,2,0,-1) als:

3.) x+2y+0z-a = 0

Den Vektor (-1,1,-1,1) als:

4.) -x+y-z+a = 0

Und raus kommt für x,y,z,a = 0

-> Weil überall 0 rausgekommen ist, ist diese Menge linear unabhängig.

Zur Prüfung noch die Determinante ausrechnen

1	0	1	-1
0	1	2	1
0	0	0	-1
0	0	-1	1

det() = -1 und -1 ist ungleich 0.

---

was mit lineare Unabhängigkeit gemeint ist.

Mit linearer Unabhängigkeit ist das gemeint, das in der Definition von Lineare Unabhängigkeit steht.

Ich habe es als lineares Gleichungssystem aufgefasst

Das steht so in der Definition.

Und raus kommt für x,y,z,a = 0

Das ist immer eine Lösung des Gleichungssystem, das man zur Prüfung auf lineare Unabhängigkeit aufstellt.

Entscheidend für die lineare Unabhängigkeit ist, dass es die einzige Lösung ist.

Die Eigenschafft könnte man durch die Determinate prüfen, die muss ungleich 0 sein.

Das funktioniert in diesem Fall. Weil in dem Gleichungssytem genau so viele Gleichungen wie Variablen vorkommen, die Koeffizientenmatrix also quadratisch ist.

Prüft man aber zum Beispiel die Menge

        \(\left\{ \begin{pmatrix}1\\-1\\1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\5\\2\\-2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\7\\0\\-6\end{pmatrix}\right\}\)

auf lineare Unabhängigkeit, dann hat die Koeffizientenmatrix vier Zeilen und drei Spalten. Und davon kann man keine Determinante berechnen. Man wird dann wohl den Weg über das lineare Gleichungssystem gehen.

---

ok, ja mittlerweile habe ich das jetzt gecheckt :)

Answer 2

Aloha :)

Ich würde die beiden gegebenen Basisvektoren erstmal möglichst weit durch äquivalente erstetzen, die möglichst viele Nullen enthalten. Dazu kann man elementare Spaltenoperationen verwenden:$$\begin{array}{rr}+S_2 & \\\hline1 & -1\\2 & 1\\0 & -1 \\-1 & 1\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rr} \cdot(-1) & -S_1 \\\hline0 & -1\\3 & 1\\-1 & -1 \\0 & 1\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rr} & \\\hline0 & -1\\-3 & -2\\1 & 0 \\0 & 1\end{array}$$

Jetzt erkennst du, dass man aus den beiden gegebenen Vektoren die \(x_3\)- und die \(x_4\)-Koordinaten eines beliebigen Vektors der \(\mathbb R^4\) zusammensetzen kann, dadurch aber dann die \(x_1\)- und die \(x_2\)-Koordinaten des Vektors festgelegt sind. Wir müssen also noch die \(x_1\)- und die \(x_2\)-Koordinate als Freiheitsgrad zur Verfügung stellen. Dazu bieten sich die folgenden beiden Einheitsvektoren an:$$\vec e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\quad;\quad \vec e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}$$

Eine Prüfung mit Hilfe der Determinante aus \(\vec v_1,\vec v_2,\vec e_1,\vec e_2\) ergibt den Wert \((-1)\) bzw. \(\ne0\), sodass die Vektoren linear unabhängig sind.

Comments

Hey, danke für deine Antwort. Wäre es so wie ich das oben gemacht habe, auch eine Möglichkeit das zu lösen?

---

Ja, so wie du es gemacht, geht es auch. Allerdings musst du dazu bereits wissen, welche Vektoren du ergänzen müsst. Bei der von mir vorgeführten Methode kannst du dir die fehlenden Vektoren logisch erschließen.

---

Das stimmt, ich habe es durch probieren gelöst. Deine Lösung verstehe ich noch nicht so ganz.

Du schreibst: "Jetzt erkennst du, dass man aus den beiden gegebenen Vektoren die \(x_3\)- und die \(x_4\)-Koordinaten eines beliebigen Vektors der \(\mathbb R^4\) zusammensetzen kann"

Kannst du das bisschen näher erläutern, wo genau erkenne ich das?

Ganz links hast du die beiden Vektoren in einer Tabelle aufgeschrieben, dann hast du diese beiden addiert v+u

Das Ergebnis der Addition hast du dann *(-1) gerechnet... weiter kann ich das nicht mehr nachvollziehen.

---

Die durch die Spaltenoperationen erhaltenen Vektoren sind gleichwertig zu den beiden Vektoren \(\vec v_1\) und \(\vec v_2\) in dem Sinne, dass sie denselben Raum aufspannen.

Um nun aus den Vektoren \((0;-3;1;0)^T\) und \((-1;-2;0;1)^T\) einen belieibigen Vektor des \(\mathbb R^4\) zu erzeugen, muss die folgende Linearkombination verwendet werden:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_3\cdot\begin{pmatrix}0\\-3\\1\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x_4\\-3x_3-2x_4\\x_3\\x_4\end{pmatrix}$$damit die \(x_3\)- und die \(x_4\)-Koordinate passen. Dadurch sind aber die beiden ersten Koordinaten auch festgelegt. Also fehlen uns noch Basisvektoren, die es uns erlauben, die \(x_1\)- und die \(x_2\)-Koordinate frei zu wählen. Daher wird mit \(\vec e_1\) und \(\vec e_2\) aufgefüllt.

---

Ok, danke für die Erklärung :)