Zwischenwertsatz für Ableitungen

Question

Seien \( a, b \in \mathbb{R} \) mit \( a<b \) und \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar mit \( f^{\prime}(a)<f^{\prime}(b) . \) Zeigen Sie: Für jedes \( m \in\left(f^{\prime}(a), f^{\prime}(b)\right) \) existiert ein \( x_{0} \in(a, b) \) mit \( f^{\prime}\left(x_{0}\right)=m \).

Häng an dieser Aufgabe. Hoffe jemand kann die lösen. Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Wenn man wüsste, dass f '  auf [a,b] stetig ist, ginge es wohl so:

Sei m∈( f'(a) , f'(b) )

Dann wäre die Funktion g:[a,b]→ℝ mit g(x)= f'(x) - m auch stetig auf [a,b]

und es wäre g(a)=f'(a)-m < 0 weil  m∈( f'(a) ,f'(b) )

und es wäre g(b)=f'(b)-m > 0 weil m∈( f'(a) ,f'(b) ) .

Also gäbe es nach dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen ein xo in (a,b)

mit g(xo)=0  also f'(xo) - m = 0   also f'(xo)=m.

Answer 2

Hallo,

wir betrachten \(h(x):=f(x)-mx\). Dann besitzt h auf dem Intervall [a,b] ein Minimum bei, sagen wir c.

Weil \(h'(a)=f'(a)-m<0\) ist, gibt es eine Umgebung \([a,a+\delta)\), in der alle Funktionswerte \(h(x)\) kleiner als \(h(a)\) sind, so dass also bei a nicht das Minimum von h liegen kann - kurz gesagt: Der Graph von h fällt bei a.

Ebenso kann das Minimum nicht bei b liegen, weil dort der Graph steigt.

Daher liegt c in \((a,b)\). Weil es sich um ein Extremum handelt, muss dort \(h'(c)=0\) sein, also \(f'(x)=m\).

Gruß Mathhilf