Aufgabe (Komplexe Zahlen):
(i) Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form \( a+i b \) und in Polarkoordinaten (d.h. in der Form \( r \cdot \) e \( ^{i \phi} \) für \( \left.r \in[0, \infty), \phi \in[0,2 \pi)\right) \) dar.
\( \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2}, \quad(1+i) \mathrm{e}^{i \frac{\pi}{2}} \)
(ii) Bestimmen und skizzieren Sie alle komplexen Lösungen \( z \in \mathbb{C} \) von
\( z^{3}=-343 \)
(iii) Zeigen Sie, dass zwei komplexe Zahlen \( z_{1}, z_{2} \) genau dann beide zueinander konjugiert (d.h. \( z_{1}= \) \( a+i b, z_{2}=a-i b \) für reelle \( \left.a, b\right) \) oder beide reell sind, wenn sowohl \( z_{1}+z_{2} \) als auch \( z_{1} \cdot z_{2} \) reelle Zahlen sind.
