An welcher Stelle (x und y) liegt der Wendepunkt links vom lokalen Minimum?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion $f(x)=-4 x^{2} \cdot \exp (-5 x+3)$

An welcher Stelle (x und Y) liegt der Wendepunkt links vom lokalen Minimum?

An welcher Stelle liegt der Wendepunkt rechts vom lokalen Minimum?

Problem/Ansatz:

Kann mir hier jemand helfen, wie ich links und rechts berechnen kann?

Vielen Dank

Answer 1

Wenn a < b gilt, dann liegt a links von b.

Answer 2

Das Minimum liegt bei x=0,4, das Maximum bei x=0. Die gesuchte Wendestelle liegt zwischen 0 und 0,4.

Answer 3

Aloha :)

Wir betrachten die Funktion$$f(x)=-4x^2\cdot e^{-5x+3}$$

Um links und rechts definieren zu können, brauchen wir einen Ausgangspunkt. Dieser soll das lokale Minimum sein. Das suchen wir als erstes. Mögliche Kandidaten finden wir bei den Nullstellen der ersten Ableitung:$$f'(x)=-8x\cdot e^{-5x+3}-4x^2\cdot e^{-5x+3}\cdot(-5)=(20x^2-8x)\cdot e^{-5x+3}$$Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, kann nur der Term in der Klammer $=0$ werden:$$0\stackrel!=20x^2-8x=4x\cdot(5x-2)\implies x_1=0\;\lor\;x_2=\frac25$$

Diese beiden Kandidaten prüfen wir nun, indem wir die zweite Ableitung der Funktion $f$ an diesen Stellen bestimmen:$$f''(x)=(40x-8)\cdot e^{-5x+3}+(20x^2-8x)\cdot e^{-5x+3}\cdot(-5)=(-100x^2+80x-8)\cdot e^{-5x+3}$$$$f''(x_1)=f''(0)=-8e^3<0\implies\text{Maximum}$$$$f''(x_2)=f''(\frac25)=8e>0\implies\text{Minimum}$$Das lokale Minimum liegt daher bei $x=\frac25$.

Wir suchen also einen Kandidaten für einen Wendepunkt, der links von $x=\frac25$ liegt. Da wir die zweite Ableitung bereits bestimmt haben und auch darin die $e$-Funktion stets positiv ist, kommen dafür nur die Nullstellen des Terms in Klammern infrage:$$0\stackrel!=-100x^2+80x-8=-100\left(x^2-\frac45x+\frac{2}{25}\right)$$Die pq-Formel liefert:$$x_{a;b}=\frac25\pm\sqrt{\frac{4}{25}-\frac{2}{25}}=\frac25\pm\sqrt{\frac{2}{25}}=\frac{2\pm\sqrt2}{5}$$Links von $x=\frac25$ haben wir also den Kandidaten:$$x_w=\frac{2-\sqrt2}{5}$$Der zugehörige $y_w$-Wert lautet $y_w=-\frac{4}{25}(2-\sqrt2)^2e^{1+\sqrt2}$, sodass

$$W\left(\frac{2-\sqrt2}{5}\bigg|-\frac{4}{25}(2-\sqrt2)^2e^{1+\sqrt2}\right)\quad\text{bzw}\quad W(0,1172|-0,6139)$$

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f₁(x) = -4x²·e^(-5x+3)f₂(x) = P(0,4|-1,7397)P(0,1172|-0,6139)Zoom: x(-0,5…2) y(-2…0)