Wie kann man die Wahrscheinlichkeit von C berechnen?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die folgenden Angaben über die (bedingten) Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
A, B, C ∈ A in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P):
• P(A) = 0.3,
• P(B|A) = 0.3, P(B|A^c) = 0.7,
• P(C|A ∩ B) = 0.1, P(C|A^c ∩ B) = 0.2, P(C|A ∩ B^c) = 0.2, P(C|A^c ∩ B^c) = 0.3

Berechnen sie P(C)!

Problem/Ansatz:

Hallo,

ich mache gerade Übungsaufgaben zur Klausurvorbereitung und kann überhaupt keinen Weg finden um P(C) zu berechnen. Kann mir hier jemand weiterhelfen ?

Comments

Wie ist hier "hoch C" zu lesen? Komplement? Grundmenge?

Oder hat C hier doch immer die gleiche Bedeutung?

Answer 1

Schaffst du es dir ein Baumdiagramm aufzuzeichnen und an die Pfade die Wahrscheinlichkeiten dranzuschreiben?

Addiere dann alle Pfadwahrscheinlichkeiten in denen das Ereignis C enthalten ist.

0.3·0.3·0.1 + 0.3·0.7·0.2 + 0.7·0.7·0.2 + 0.7·0.3·0.3 = 0.212

Achtung, mein Ergebnis ist noch ungeprüft und daher mit Vorsicht zu genießen.

Comments

vielen Dank, das hat sehr geholfen !

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Hänge hier nochmal ein Kommentar dran,da ich meine Antwort jetzt editiert habe(damit nochmal eine Benachrichtigung aufploppt, falls der Ansatz dieser Rechnung interessiert).

Answer 2

Vielleicht nochmal als alternative zu der Antwort von Der_Mathecoach:

Es gilt:
\( P(C|A\cap B) = \frac{P(C\cap ( A\cap B))}{P(A\cap B)} \)

Das hier gilt ähnlich für jede der vier bedingten Wahrscheinlichkeiten der Form \( P(C|X)\).

Schauen wir uns nun den Zähler hiervon an für alle vier Gleichungen kann man schnell sehen, dass alle vier Nenner zusammen \(C\) ergeben.

Wir holen also die Nenner auf die rechte Seite und bestimmen diese jetzt. Dann können wir später zusammenaddieren.

Die Nenner lassen sich wie folgt berechnen:
\( P(A\cap B) = P(B|A)*P(A) \)
\( P(A^{c}\cap B) = P(B|A^{c})*P(A^{c}) \)
\( P(A\cap B^{c}) = P(A)- P(A\cap B) \)
\( P(A^{c}\cap B^{c}) = ( P(A\cap B^{c}) + P(A^{c}\cap B) + P(A\cap B) \)

Multipliziert man jetzt die jeweiligen Nenner weg und addiert. Müsste man auf die selbe Gleichung kommen.