Bruchungleichung lösen: 3x-7/x-1 <= x-3

Question

Aufgabe:

Löse diese Ungleichung:

\( \frac{3x-7}{x-1} \)≤ \( {x-3} \)

Problem/Ansatz:

Laut Lösung kommt da raus x >= 5 und 1 < x <= 2.

Ich habe jetzt nur mit pq gearbeitet, und hatte dann 5 und 2 als Lösung. Wie kriege ich aber die 1?

Comments

Alternativ multipliziere mit \((x-1)^2\) und erhalte die für \(x\ne1\) äquivalente Ungleichung
\((x-5)(x-2)(x-1)\ge0\)
und lies die Lösungsintervalle ab.

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Hätte ich dann aber nicht x => 1? Es muss ja x > 1 sein.

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Ah ne, für x ungleich 1 wäre das dann ja x > 1.

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Fallunterscheidung;

1. x>1

2. x< 1

Mit dem Nenner durchmultiplizieren und quadratische Gleichung lösen.

Answer 1

(3·x - 7)/(x - 1) ≤ x - 3

Für x > 1 gilt

3·x - 7 ≤ (x - 3)·(x - 1)

3·x - 7 ≤ x^2 - 4·x + 3

- x^2 + 7·x - 10 ≤ 0 --> x ≤ 2 ∨ x ≥ 5 --> 1 < x ≤ 2 ∨ x ≥ 5

Für x < 1 gilt

3·x - 7 ≥ (x - 3)·(x - 1)

3·x - 7 ≥ x^2 - 4·x + 3

- x^2 + 7·x - 10 ≥ 0 --> 2 ≤ x ≤ 5 → Keine Lösung

Comments

1 < x ≤ 2 ∧ x ≥ 5

Müsste es nicht ∨ heißen?

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Müsste es nicht ∨ heißen?

Ja. Vertippt. Danke für die Korrektur.

Answer 2

Hallo

wenn du mit x-1 multiplizierst bleibt für x>1 das > Zeichen erhalten, für x<1 dreht es sich um. du hast also für x>1

3x-7<=x^2-4x+3

oder 0<=x^2-7x+10

0<=(x-3,5)^2-2,25, 2,25<=(x-3,5)^2

pq also erst mal für x>1  (x<1 musst du extra behandeln,

Gruß lul