Ist die Partialbruchzerlegung so richtig?

Question

Aufgabe:

\(\int \frac{x+8}{x^{2}-4 x+4} d x=\frac{x+8}{(x-2)(x-2)^{2}}=\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x-2)^{2}}\)

Nullstelle vor Nenner:
\( x^{2}-4 x+4=0 \)
\( x_{1 / 2}=+\frac{4}{2} \pm \sqrt{\left(-\frac{4}{2}\right)^{2}-4} \)
\( x_{1}=2+0=2 \)
\( x_{2}=2-0=2 \)
\( =D \int \frac{x+8}{(x-2)(x-2)^{2}}=\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x-2)^{2}}|\cdot(x-2)| \cdot(x-2)^{2} \)
\( \Rightarrow x+8=A \cdot(x-2)+B \)
\( x=2: 10=B \)
\( x=0 \quad 8=A \cdot(x-2)+B \)
\( 8=A \cdot(-2)+10 \quad 1-10 \)
\( -2=A \cdot(-2) \quad \mid:(-2) \)
\( 1=A \)
\( =D \int \frac{1}{(x-2)}+\frac{10}{(x-2)^{2}} d x=\int \frac{1}{(x-2)} d x+\int \frac{10}{(x-2)^{2}} d x \)
\( =\int \frac{1}{(x-2)} d x+10 \cdot \int \frac{1}{(x-2)^{2}} d x \)
\( =\left(\ln (x-2)+10 \ln (x-2)^{2}\right)+C \)

Ist es so richtig? Bin mir am Ende mit "ln.....+C" sehr unsicher.

Answer 1

Aloha :)

Ich würde statt Partialbruchzerlegung den Integranden zunächst ein wenig umformen$$f(x)=\frac{x+8}{x^2-4x+4}=\frac{x-2}{x^2-4x+4}+\frac{10}{x^2-4x+4}=\frac12\cdot\frac{2x-4}{x^2-4x+4}+\frac{10}{(x-2)^2}$$Beim ersten Bruch steht im Zähler die Ableitung des Nenners, daher ist:$$\frac12\int\frac{2x-4}{x^2-4x+4}\,dx=\frac12\ln|x^2-4x+4|+C=\frac12\ln((x-2)^2)+C=\ln|x-2|+C$$Das Integral des zweiten Bruches lautet:$$10\cdot\int(x-2)^{-2}\,dx=10\cdot\frac{(x-2)^{-1}}{(-1)}+C=-\frac{10}{x-2}+C$$Zusammengebaut ergibt das:$$\int \frac{x+8}{x^2-4x+4}\,dx=\ln|x-2|-\frac{10}{x-2}+C$$

Answer 2

(x + 8) / (x^2 - 4·x + 4) = A / (x - 2) + B / (x - 2)^2

x + 8 = A·(x - 2) + B → A = 1 ; B = 10

(x + 8) / (x^2 - 4·x + 4) = 1 / (x - 2) + 10 / (x - 2)^2

∫ 1 / (x - 2) dx + ∫ 10 / (x - 2)^2 dx = LN(x - 2) + 10/(2 - x) + C

Du hast die Stammfunktion zu 10 / (x - 2)^2 verkehrt bestimmt.

Comments

Wieso 10/(2-x)?

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Benutze https://www.integralrechner.de/ zur Hilfe und Selbstkontrolle

Beachte das -10/(x - 2) = 10/(2 - x)

Warum der Integralrechner solche vereinfachung nicht macht, weiß ich allerdings nicht.