Nullstellen von Polynomfunktionen/Anwendung Polynomfunktion

Question

Aufgabe:

Eine halbkugelförmige Schale mit dem Radius r=10cm wird zu 50%ihres Volumens mit Wasser gefüllt.

Problem/Ansatz:

a) Die Höhe h des Wasserstandes in der Schale erfüllt eine kubische Gleichung. Stelle diese Gleichung auf.

b) Ermittle grafisch ihre Lösung. Überlege dazu ein sinnvollen Intervall, in dem sich die hier gewünschte Lösung befinden muss.

c) Bestätige das Ergebnis mithilfe von Technologie.

Ich verstehe hier leider überhaupt nicht wie ich vorgehen soll oder sonstiges, ich bitte um Hilfe. Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

a) Die Höhe h des Wasserstandes in der Schale erfüllt eine kubische Gleichung. Stelle diese Gleichung auf.

V(h) = pi/3·h^2·(3·r - h)

Siehe dazu auch https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelsegment

Comments

Ich komme leider trotzdem nicht weiter :(.

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Wobei denn nicht. Weißt du, welches Volumen eine Kugel mit dem Radius 10 hätte?

Welches Volumen denn die genannte Halbkugel hat.

Und was die Hälfte des Volumens der Halbkugel ist.

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Ich weiß nicht wie ich anfangen soll z.b die drei Fragen die Sie gerade gestellt haben ich weiß leider keine Antwort zu denen.

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Sie haben mir eine Gleichung aufgestell,t ist die jetzt schon die Lösung für a) oder geht es noch weiter?

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Du kannst r = 10 schon einsetzen.

Ansonsten solltest du dir folgende Dinge überlegen

Welches Volumen denn die genannte Halbkugel hat.

Und was die Hälfte des Volumens der Halbkugel ist.

Danach hatte ich aber oben schon gefragt.

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Wobei denn nicht. Weißt du, welches Volumen eine Kugel mit dem Radius 10 hätte?

\(V_{Kugel}=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3\\ V=\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot 10^3\)

Welches Volumen denn die genannte Halbkugel hat

Teile das Ergebnis durch zwei

Und was die Hälfte des Volumens der Halbkugel ist.

und nochmal halbieren

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Ich habe für das V(Kugel)= 4 188,8 cm³

V(Halbkugel)= 2 094,4 cm³

V(1/2 Halbkugel)= 1 047,2 cm³

rausbekommen. Stimmen diese Werte? Wenn ja wie geht es nun weiter?

Vielen Dank, das Sie für mich Zeit nehmen!

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Das sieht gut aus. Damit lautet die Gleichung dann

V = pi/3·h^2·(3·r - h)
V = pi/3·h^2·(3·10 - h) = 1047.2

Dann bist du mit a) fertig.

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Das sieht gut aus

könnte aber noch besser aussehen

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Und wie geht es nun mit dem restlichen weiter ?

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könnte aber noch besser aussehen

Wenn man z.B. auf der rechten Seite 1/3·pi·10^3 hinschreibt oder was meinst du?

Wenn das grafisch zu lösen ist hätte ich die Graphen zu pi/3·h^2·(3·10 - h) und 1048 gleichgesetzt.

~plot~ pi/3x^2(30-x);1048;[[0|10|0|2200]] ~plot~

Rechnerisch

pi/3·h^2·(3·10 - h) = 1/3·pi·10^3
h^2·(3·10 - h) = 10^3
h^2·(30 - h) = 10^3
30·h^2 - h^3 = 1000
h^3 - 30·h^2 + 1000 = 0 --> h = 6.527036446

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Wäre dann nämlich auf die einfachere Schnittpunktbestimmung der Graphen von 30x^2-x^3 und 1000 (Technologie soll erst bei c. eingesetzt werden !) hinausgelaufen.

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Warum setzt man auf der rechten Seite 1/3·pi·10³ bzw wie kommt man denn darauf?

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Gast hj2166: Wie hätten Sie das gemacht, denn einen zweiten Lösungsweg zu haben schadet nie. Vielen Dank

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Warum setzt man auf der rechten Seite 1/3·pi·10³ bzw wie kommt man denn darauf?

1/4 vom Kugelvolumen 4/3*pi*r^3 ist einfach 1/3*pi*r^3.

1/3*pi*10^3 = 1047.197551

Du erinnerst dich, dass dies der Wert war, den du ausgerechnet hattest?

Schnittpunktbestimmung der Graphen von 30x^2-x^3 und 1000

Würde ich so nicht machen weil dann die Graphen überhaupt keine Bedeutung mehr haben. Natürlich ist es richtig. Aber ein Schüler (und auch ich) könnte bei der Umformung Fehler machen und daher würde ich das einfach mit den Graphen machen, die eine Bedeutung haben.

Man weiß ja auch, dass wenn man für h = 10 einsetzt, dann genau das halbe Volumen der ganzen Kugel rauskommen müsste. Dann hat man schnell eine Kontrolle.

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pi/3·h2·(3·10 - h) = 1/3·pi·103

h2·(3·10 - h) = 103

h2·(30 - h) = 103

30·h2 - h3 = 1000

h3 - 30·h2 + 1000 = 0 --> h = 6.527036446

Könnten Sie mir erklären wie Sie auf die Lösung gekommen sind, ich versuche es nämlich die ganze Zeitt aber irgendwie klappt es nicht.

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Was verstehst du nicht? Du darfst Technologieeinsatz benutzen. Also du lässt die Gleichung

h^3 - 30·h^2 + 1000 = 0

vom Taschenrechner lösen.

Wie du dabei deinen Taschenrechner bedienen musst weiß ich nicht. Das hängt auch davon ab welchen Taschenrechner ihr benutzt.

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Achsoo, perfekt. Dankeschöönn. Eine letzte Frage hätte ich noch. Wie zeichnet man diesen Graphen händisch also was für einen Intervall wählt man da? (Und um es zu zeichnen nimmt man einfach die Formel und setzt für h die Zahlen im Intervall ein oder?)

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Achsoo, perfekt. Dankeschöönn. Eine letzte Frage hätte ich noch. Wie zeichnet man diesen Graphen händisch also was für einen Intervall wählt man da? (Und um es zu zeichnen nimmt man einfach die Formel und setzt für h die Zahlen im Intervall ein oder?)

Wenn der Radius 10 ist dann kannst du die Halbkugel bis zu einer Höhe von 10 cm füllen. Du solltest also als Intervall einfach [0 ; 10] verwenden. Und richtig. Dabei setzt du für h dann z.B. die ganzen Zahlen von 0 bis 10 ein.

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Vielen Vielen Dank!

Ich wünsche Ihnen noch eine gute Nacht!