Umkehrfunktion arcsin ableiten

Question

sei arcsin: Ι-1,1Ι ↦(-π / 2 , π /2 ) die umkehrfunktion von sin(x).

berechnen sie die erste ableitung von arcsin(x) auf (-1,1)

Answer 1

Hi,

Es gilt

(f^{-1})' = 1/f'(f^{-1})

f(x) = sin(x)

f'(x) = cos(x)

f^-1 = arcsin(x)

 

(f^-1)' = 1/f'(f^-1) = 1/(cos(arcsin(x)))

 

Mit cos²+sin² = 1 --> cos = √(1-sin²)

arcsin(x)' = 1/√(1-sin(arcsin(x))²) = 1/√(1-x²), denn sin(arcsin(x)) = x, hebt sich also gegenseitig auf.

 

Grüße

Comments

irgendwie hab ich das nocht verstanden woher kommt den f hoch minus eins strich??

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f^{-1} ist die Umkehrfunktion. Und das Strich ist die Ableitung dieser ;).

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können sie mir das mit der umkehrfunktion genau erklären??

Answer 2

Die Umkehrfunktion f^-1 einer Funktion f (auf einem geeigneten Intervall definiert) ist diejenige Funktion, welche es erlaubt, von einem Funktionswert f(x) wieder zum ursprünglichen Wert x zurückzurechnen. Im vorliegenden Fall gilt z.B.  sin(arcsin(x)) = x  für alle x-Werte im Intervall  [-1 ... +1]

Nun kannst du diese Gleichung   sin(arcsin(x)) = x   auf beiden Seiten des Gleichkeitszeichens ableiten. Auf der linken Seite musst du dabei die Kettenregel verwenden. Die innere Ableitung  (arcsin(x))'  , die dabei auftritt, ist genau das Gesuchte.

Führe also dieses Rezept einmal durch und löse dann die so entstandene Gleichung nach der gesuchten Ableitung  (arcsin(x))'  auf !

Bei der Herleitung muss man noch darauf achten, ob man bei dem entstehenden Term  cos(arcsin(x))  wirklich davon ausgehen darf, dass dieser Cosinuswert stets größer oder gleich 0 ist. Betrachte dazu die exakte Definition der Funktion arcsin  (und insbesondere deren Definitions- und Wertebereich) !