Bestimmen Sie ein Polynom p(x)=a+b x+c x^{2} ∈ \mathcal{P}_{2} so, dass

Question

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Aufgabe 3 (10 Punkte) Es sei \( \mathcal{P}_{2} \) der Vektorraum aller Polynome vom Grad \( \leq 2 \) mit dem Skalarprodukt
\( \left\langle a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}, b_{1}+b_{1} x+b_{2} x^{2}\right\rangle:=\sum \limits_{k=0}^{2} a_{k} b_{k}=a_{0} b_{0}+a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}, \)
d.h. analog zum euklidischen Skalarprodukt des \( \mathbb{R}^{3} \). Bestimmen Sie ein Polynom \( p(x)=a+b x+c x^{2} \in \mathcal{P}_{2} \) so, dass
\( \left\{-1-x+x^{2}, 1+x^{2}, p(x)\right\} \)
eine orthogonale Basis von \( \mathcal{P}_{2} \) bilden.

Hallo!

Ich bräuchte hierzu eine (wenn ihr so Gütig wärt) ausführliche Lösung dazu. Ich habe solche Aufgaben in der Art immer vektoriell gestellt bekommen aber ich habe probleme mit der Polynom darstellung. Vielen dank im voraus!

Answer 1

Besser du machst das selbst! 1, zeige dass das Skalarprodukt der ersteh 2  0 ist. 2, berechne das Skalarprodukt des ersten und des 2 ten Basispolynoms mit p2 damit hast du 2 Gleichungen für a,b,c, da die nur orthogonal also nicht normal sein sollen kannst du eine der 3 frei wählen, da wenn p2*p1=0 auch rp2+p1=0

ich schreib die Gleichung für p0*p2=-a0-a1+a2=0

jetzt du p1*p2=0

Gruß lul

Comments

Ich bin jetzt wie folgt vorgegangen :

- Polynome in Vektoren umgeschrieben

- um zu zeigen das diese orthogonal sind habe ich das Skalarprodukt gebildet

- das entstehende GLS mit 2 Gleichungen und 3 unbekannten habe ich nach einem freien parameter umgeformt und einen vektor in abhängigkeit von diesem freien parameter berechnet

- aus diesem Vektor welcher abhängig von dem freien parameter ist habe ich dann das polynom p(x) = -2 -x -x^2 erhalten.

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Hallo

p0*p2 mit deinem p2: <(-1-x+x^2),(-2-x-x^2)>=2+1-1≠0 also hast du was falsch gemacht auch p1*p2≠0

Also mach immer am Schluss die Probe!

Gruß lul

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Muss mich korrigieren bezüglich dem ergebnis!

Habe nicht p(x) = -2 -x -x^2 erhalten sondern p(x) = -2 -x +x^2 und das ist dann auch, wenn man die probe macht , bspw p1*p2 = 0 passend schätze ich.

Danke dir aber sehr dafür das du mir weitergeholfen hast !

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???

(-1-x+x^2)*(-2-x+x^2)=2+1+1=4≠0

p1p2=0 jetzt.

lul