Wie viele binäre Operationen sind kommutativ?

Question

mir bereitet die folgende Aufgabe Probleme.

Aufgabe:

Es sei $M$ eine Menge. In dieser Aufgabe geht es um binäre Operationen $\diamond: M \times M \rightarrow M$ auf $M$.
Es sei $|M|=2$. Wie viele solche binäre Operationen sind kommutativ? Erklären Sie kurz, wie Sie zu Ihrem Ergebnis gekommen sind.
Tipp. Damit Sie nicht alle Möglichkeiten durchprobieren müssen: Stellen Sie $\diamond$ tabellenartig dar und überlegen Sie sich, welche Zusammenhänge zwischen den Einträgen in der Tabelle bestehen müssen.

Lösung:

Es sei $M=\left\{m_{1}, m_{2}\right\} .$ Jede binäre Operation $\diamond$ auf $M$ kann wie folgt dargestellt werden:
 $a=m_{1} \diamond m_{1}, b=m_{1} \diamond m_{2}$, usw. Jedes $\diamond$ ist damit eindeutig durch die Werte $a$, $b, c$, und $d$ bestimmt.
$\diamond$ ist genau dann kommutativ, wenn $b=c$ ist. Das heißt, jedes kommutative $\diamond$ ist genau durch die Werte $a, b$, und $d$ festgelegt. Da es $|M|^{3}=2^{3}=8$ verschiedene Möglichkeiten gibt, Werte für $a, b$, und $d$ zu wählen, so muss es also insgesamt 8 verschiedene kommutative binäre Operationen auf $M$ geben.

Mein Problem:
Ich kann den Lösungsvorschlag nach der Tabellenerstellung leider nicht nachvollziehen. Wieso ist jedes kommutative ⋄ durch die Werte a, b, und d festgelegt, und nicht durch die Werte $m_1$ und $m_2$?

Answer 1

a und b seien die Elemente von M.

Die Verknüpfungstabelle sei$$\begin{array}{c|cc|} \diamond&a&b\\ \hline a&*&x \\b&x&*\\ \hline\end{array}$$

Für die beiden Diagonalelemente $*$ kommen alle 4 Möglichkeiten

a,a - a,b - b,a - b,b in Frage (4 Stück), für das x neben der

Diagonale entweder beidesmal a oder beidesmal b (2 Möglichkeiten),

also insgesamt $4\cdot 2=8$ Möglichkeiten.

Comments

Hallo,

8 kommutative binäre Operationen stimmt, so steht es ja auch im Lösungsvorschlag (s.o.).

Mein Problem ist es, nachzuvollziehen, wie man auf diese 8 Operationen kommt. Um meine Frage von oben zu zitieren:

Ich kann den Lösungsvorschlag nach der Tabellenerstellung leider nicht nachvollziehen. Wieso ist jedes kommutative ⋄ durch die Werte a, b, und d festgelegt, und nicht durch die Werte $m_1$ und $m_2$?

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Habe meine Antwort ergänzt !

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Danke, ich stelle meine Folgefragen unter die ergänzte Antwort!

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Für die beiden Diagonalelemente $*$ kommen alle 4 Möglichkeitena,a - a,b - b,a - b,b in Frage (4 Stück)

Was bedeutet es, sie kommen in Frage?
Sind nicht die Kombinationen a,a und b,b der einzige Weg, um $*$ zu erhalten?

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Das bedeutet, dass

$\begin{array}{c|cc|} \diamond&a&b\\ \hline a&a&x \\b&x&a\\ \hline\end{array}$$\quad \begin{array}{c|cc|} \diamond&a&b\\ \hline a&a&x \\b&x&b\\ \hline\end{array}$

$\begin{array}{c|cc|} \diamond&a&b\\ \hline a&b&x \\b&x&a\\ \hline\end{array}$$\quad \begin{array}{c|cc|} \diamond&a&b\\ \hline a&b&x \\b&x&b\\ \hline\end{array}$

4 Verknüpfungsmöglichkeiten jeweils für x=a bzw. x=b liefert.

So unklar habe ich mich doch nicht ausgedrückt.