Berechne den kürzesten Abstand des Punktes P (0/7) vom Graphen zu f(x) = x^2.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)= x^2. Berechne den kürzesten Abstand des Punktes P (0/7) vom Graphen zu f(x).

Answer 1

Der Abstand zum Quadrat von (0 | 7) zum Punkt (x | x^2) beträgt laut Pythagoras

d^2 = (x^2 - 7)^2 + (x - 0)^2 = x^4 - 14x^2 + 49 + x^2 = x^4 - 13x^2 + 49

Wenn der Abstand minimal ist ist auch das Quadrat minimal und damit muss die Ableitung von d^2 = 0 sein.

d^2' = 4x^3 - 26x = 0
x(4x^2 - 26) = 0
x = 0

4x^2 - 26 = 0
x = √26/2

Aus Symmetriegründen brauch ich nur den positiven Wert betrachten.

Bei x = 0 wäre d^2 = 49

Bei x = √26/2 wäre d^2 = 6,75

Bei x = √26/2 ist der Abstand minimal. 

Der Abstand beträgt dann:

d^2 = 6,75
d = √6,75 = 3/2·√3 = 2,598

P(√26/2 | 6,5) ~~ P(2,550 | 6,5)

Hier noch eine Skizze.

 

Answer 2

Gegeben ist die Funktion \(f(x)= x^2\). Berechne den kürzesten Abstand des Punktes \(P (0|7)\) vom Graphen zu \(f(x)\)

Kreis um P: k:\(x^2+(y-7)^2=r^2\)

\(k(x,y)=x^2+(y-7)^2-r^2\)

\(k_x(x,y)=2x\)

\(k_y(x,y)=2(y-7)\)

\(k'(x)=-\frac{k_x(x,y)}{k_y(x,y)}=-\frac{x}{y-7}\)

\(f'(x)= 2x\)

In Berührpunkten des Kreises mit der Parabel muss die Steigung identisch sein:

\(-\frac{x}{y-7}=2x\)

\(y=\frac{13}{2}\)  Diese Gerade schneidet die Parabel in den beiden Berührpunkten:

\(\frac{13}{2}= x^2\)

\(x_1,_2=±\sqrt{\frac{13}{2}}\)

Entfernung (e)von \(P (0|7)\) nach \(B_1(\sqrt{\frac{13}{2}}|6,5)\)

\(e=r= \sqrt{(7-6,5)^2+(\sqrt{\frac{13}{2}})^2} =\sqrt{0,25+6,5}=\sqrt{6,75}\)

k:\(x^2+(y-7)^2=6,75\)