Konvergenzkriterien | k-te Wurzel

Question

1.

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{(\sqrt[k]{17}-1/10)^k} \)

Was für ein Konvergenzkriterium würde sich hier lohnen, um herauszufinden ob es Konvergiert?

die einzigen die mir einfallen sind, Quotientenkriterium, Harmonische Reihe, Wurzelkriterium, Leibnizkriterium

Answer 1

Das Wurzelkriterium bietet sich an; denn

\(|\sqrt[k]{17}-1/10|\rightarrow 1-1/10=9/10< 1\) für \(k\rightarrow \infty\).

Answer 2

Für hinreichend großes k ist k-te Wurzel aus 17 kleiner als1,05.

(z.B. k=60)

Also gilt für k>60

\(     (\sqrt[k]{17}-1/10)^k < 0,95^k \)

Also ist von da an die geometrische Reihe mit q=0,95

eine konvergente Majorante, also konvergiert deine

Reihe auch.

Answer 3

Hallo

da es auf die ersten paar 100 oder 1000 nicht ankommt, kannst du sagen ab k=1000

ist die Klammer <0,903  oder fang schon bei 100 an  also hast du ab da einen Vergleich mit der geometrischen Reihe als konvergierende Majorante.

Gruß lul