Beweis eine Cauchy-Folge

Question

Aufgabe:

… Beweisen einer Cauchy Folge

Problem/Ansatz:

… (fn)n∈ℕ ist eine rationale Cauchy Folge

zu zeigen: (5·fn)n∈ℕ ist eine Cauchy Folge.

Ich weiß das die Voraussetzungen:

für alle ε ∈ℚ mit ε>0 existiert ein N, sodass für alle n, m ≥ N gilt I fn - fm I < ε

gelten muss. ich weiß nur nicht, wie ich es beweisen soll

Answer 1

ε ∈ℚ mit ε>0 existiert ein N, sodass für alle n, m ≥ N gilt I fn - fm I < ε

Sei nun ε>0. ==>  Es existiert ein N, sodass für alle n, m ≥ N gilt I fn - fm I < ε/5

==>   Es existiert ein N, sodass für alle n, m ≥ N gilt I5 fn - 5 fm I < 5 ε/5 = ε. q.e.d.

Comments

Aber habe ich mich damit dann nicht irgendwie einmal im Kreis gedreht

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Nein. Der Pfiff ist doch, dass es zu jedem ε so ein N gibt.

Und wenn du das N für ε/5 wählst, dann gilt alle n,m die

größer als dieses N sind eben I5 fn - 5 fm I < ε.