Nicht triviale Lösung? Begriff.

Question

kann mir jemand erklären was nicht triviale lösungen sind?? Die aufgabe fällt mir auch sehr schwer : für welche werte von t hat das gleichungssystem
-2x+4y-tz=0
-3x+y+tz =0
(t-2)x-7y+4z=0
nicht triviale Lösungen?

Comments

Siehe hier: https://www.mathelounge.de/93069/nicht-triviale-losung-begriff

 

Dieser und Folgekommentar aus Duplikat

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hmmm und wie komme ich auf 5·(t² - 9·t + 8) ???

Answer 1

Die Triviallösung die dir sofort ins Auge fällt ist x = y = z = 0

Alles andere sind dann die nicht trivialen Lösungen

- 2·x + 4·y - t·z = 0
- 3·x + y + t·z = 0
(t - 2)·x - 7·y + 4·z = 0

Damit wir nicht triviale Lösungen haben muss die Determinante = 0 sein.

DET([-2, 4, -t; -3, 1, t; t - 2, -7, 4]) = 5·(t^2 - 9·t + 8) = 0

t = 8 ∨ t = 1

Für t = 1 oder t = 8 gibt es also nicht triviale Lösungen.

Comments

ok bis dahin hab ich alles verstanden aber wie muss ich denn die det ausrechnen bzw. wie haben sie es ausgerechnet wie kommen sie auf5·(t² - 9·t + 8) = 0?? ich weiß, dass man det mit laplace oder sarus ausrechnet aber geht das hier auch denn bei meinen lösungen wurde anders gerechnet ohne det

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Die Determinante kannst du mit der Regel von Sarrus berechnen. Das ist der einfachste Weg.

Schau dir mal deine Lösung an. Ich denke die ist eventuell umständlicher oder? Also ich finde den Weg über die Determinante am einfachsten.
Du kannst aber auch anfangen das Gleichungssystem mit dem Gauss zu lösen.

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könnten sie vielleicht diesen schritt ausführlicher aufschreiben 5·(t² - 9·t + 8) = 0 ???

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Weißt du wie man die Determinante berechnet

DET([-2, 4, -t;
-3, 1, t;
t - 2, -7, 4]) = 

- 2·1·4 + 4·t·(t - 2) + (-t)·(-3)·(-7) - (t - 2)·1·(-t) - (-7)·t·(-2) - 4·(-3)·4
= 5·t^2 - 45·t + 40
= 5·(t^2 - 9·t + 8)