Zeigen Sie: φ1,...,φn sind genau dann linear abhängig, wenn es ein v ∈ V, v ̸= 0 gibt, so dass φi(v) = 0 für 1 ≤ …

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum, V′ der Dualraum zu V, φ1,...,φn ∈ V′. Zeigen Sie: φ1,...,φn sind genau dann linear abhängig, wenn es ein v ∈ V, v ̸= 0 gibt, so dass φi(v) = 0 für 1 ≤ i ≤ n gilt.

Answer 1

Die Aussage stimmt nicht wie sie in der Frage formuliert ist, es muss nämlich zusätzlich $\operatorname{dim}(V)=n$ gelten. Ansonsten wäre z.B.

$\varphi_{1}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \end{array}\right], \quad \varphi_{2}=\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \end{array}\right]$

ein Gegenbeispiel.
Wir werden also den Fall $\operatorname{dim}(V)=n$ beweisen.
Zuersteinmal die hinreichende Bedingung. Sei $\mathbf{v} \in V \backslash\{0\}$ sodass
$\forall i \in[n]: \varphi_{i}(\mathbf{v})=0 .$
Jedes $\varphi_{i}$ kann als ein Zeilenvektor dargestellt werden, bezeichnen wir diesen mit $\mathbf{z}_{i}$, und betrachte die Matrix $\mathbf{A}=\left[\mathbf{z}_{i}\right]_{i \in[n]} \in \mathbb{K}^{n, n}$ deren Zeilen aus den Zeilenvektoren $\mathbf{z}_{i}$ bestehen. Dann gilt
$\mathbf{A v}=\left[\begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right] \Longrightarrow \operatorname{det}(\mathbf{A}) \neq 0$
und somit sind die Zeilen/Spalten linear abhängig.
Für die andere Richtung, würde nun $\forall \mathbf{v} \in V$ gelten, dass ein $\varphi_{i}$ existiert mit $\varphi_{i}(\mathbf{v}) \neq 0$, so wäre $\mathbf{A} \mathbf{v} \neq 0$ für alle $\mathbf{v}$ und somit $\operatorname{det}(\mathbf{A}) \neq 0$, also insbesondere wären die Zeilen linear unabängig.

Für den Fall $\text{dim}(V)<n$ sind die Funktionen natürlich immer linear abhängig.

Comments

Hallo, ich stehe auf dem Schlauch. Wie sieht denn diese Matrix aus? Warum ist Av=0, wenn v ungleich null ist?

LG