Zeigen Sie: φ1,...,φn sind genau dann linear abhängig, wenn es ein v ∈ V, v ̸= 0 gibt, so dass φi(v) = 0 für 1 ≤ …

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum, V′ der Dualraum zu V, φ1,...,φn ∈ V′. Zeigen Sie: φ1,...,φn sind genau dann linear abhängig, wenn es ein v ∈ V, v ̸= 0 gibt, so dass φi(v) = 0 für 1 ≤ i ≤ n gilt.

Answer 1

Die Aussage stimmt nicht wie sie in der Frage formuliert ist, es muss nämlich zusätzlich \( \operatorname{dim}(V)=n \) gelten. Ansonsten wäre z.B.

\( \varphi_{1}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \end{array}\right], \quad \varphi_{2}=\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \end{array}\right] \)

ein Gegenbeispiel.
Wir werden also den Fall \( \operatorname{dim}(V)=n \) beweisen.
Zuersteinmal die hinreichende Bedingung. Sei \( \mathbf{v} \in V \backslash\{0\} \) sodass
\( \forall i \in[n]: \varphi_{i}(\mathbf{v})=0 . \)
Jedes \( \varphi_{i} \) kann als ein Zeilenvektor dargestellt werden, bezeichnen wir diesen mit \( \mathbf{z}_{i} \), und betrachte die Matrix \( \mathbf{A}=\left[\mathbf{z}_{i}\right]_{i \in[n]} \in \mathbb{K}^{n, n} \) deren Zeilen aus den Zeilenvektoren \( \mathbf{z}_{i} \) bestehen. Dann gilt
\( \mathbf{A v}=\left[\begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right] \Longrightarrow \operatorname{det}(\mathbf{A}) \neq 0 \)
und somit sind die Zeilen/Spalten linear abhängig.
Für die andere Richtung, würde nun \( \forall \mathbf{v} \in V \) gelten, dass ein \( \varphi_{i} \) existiert mit \( \varphi_{i}(\mathbf{v}) \neq 0 \), so wäre \( \mathbf{A} \mathbf{v} \neq 0 \) für alle \( \mathbf{v} \) und somit \( \operatorname{det}(\mathbf{A}) \neq 0 \), also insbesondere wären die Zeilen linear unabängig.

Für den Fall \(\text{dim}(V)<n\) sind die Funktionen natürlich immer linear abhängig.

Comments

Hallo, ich stehe auf dem Schlauch. Wie sieht denn diese Matrix aus? Warum ist Av=0, wenn v ungleich null ist?

LG